Pikku-M: Epäyhtälöt

Here be a line, if not the image is missing

Epäyhtälöt

Epäyhtälöiden ratkaiseminen perustuu usein vastaavan yhtälön ratkaisemiseen, minkä lisäksi on tarkasteltava esiintyvien lausekkeiden merkkejä.

Graafisten esitysten tekeminen, kuten sopivien funktioiden kuvaajien piirtäminen auttaa usein hahmottamaan tilannetta.

Epäyhtälö
Epäyhtälöiden ratkaiseminen

Esimerkkejä

Ratkaistaan epäyhtälö seuraavasti:

3x + 4 > 2x − 1 3x − 2x > − 4 − 1 x > − 5

Ratkaistaan itseisarvoepäyhtälö:

|8x + 2| ≥ 4 |2| ⋅ |4x + 1| ≥ 4 |4x + 1| ≥ 2

kuvaaja
Voidaan suorittaa neliöönkorotus, koska kummatkin puolet ovat ei-negatiivisia:

|4x + 1|2 ≥ 22 2 16x + 8x + 1 ≥ 4 16x2 + 8x − 3 ≥ 0

Yhtälön $16x2 + 8x − 3 = 0$ nollakohdat ovat $1∕4$ ja $− 3∕4$ . Paraabeli on ylöspäin aukeava, joten se on x-akselin alla nollakohtiensa välissä.

|8x + 2| ≥ 4, kun x ≥ 1∕4 tai x ≤ − 3∕4.

Ratkaistaan murtoepäyhtälö

2x2 −-1- x + 2 > x.

Tapa1:
Siirretään x vasemmalle puolelle ja lavennetaan nimittäjät samoiksi.

2x2 − 1 2x2 − 1 x ⋅ (x + 2) --------− x = --------− ---------- > 0 x +22 2 x + 2 2 x + 2 2x--−-1-−-(x--+-2x)-= x-−--2x-−-1-> 0 x + 2 x + 2

kuvaaja
Nimittäjän pitää olla erisuurta kuin nolla, eli pitää olla $x ⁄= 2$ .
Osoittajan nollakohdat:

√ -- x2 − 2x − 1 = 0, kun x = 1 ± 2.

Merkkikaavio:

√ -- √ -- − 2 1 − 2 1 + 2 |-x2 −-2x-−-1--|----+-----|----+-----|----−------|-----+-----| |--------------|----------|----------|-----------|-----------| |----x-+-2-----|----−-----|----+-----|----+------|-----+-----| -murtolauseke-------−----------+----------−------------+------

Taulukosta nähdään, että murtolauseke on positiivinen, kun

√ -- √ -- − 2 < x < 1 − 2 tai x > 1 + 2.

Tapa2:
Kerrotaan epäyhtälö $(x + 2)$ :lla molemminpuolin, saadaan kaksi 2.asteen polynomia ja käsitellään kahdessa osassa: $x + 2 < 0$ ja $x + 2 > 0$ . (Negatiivisella luvulla puolittain kertominen kääntää merkin!)

Murtoepäyhtälöiden $x2 − 7x + 10 ---------2--- ≥ 0 9 − x$ ja $x2 + 3x − 7 ----2-------> 1 x + 2$ ratkaisuja.

Esimerkki 1 epäyhtälöistä
Esimerkki 3 epäyhtälöistä
Ratkaistaan itseisarvoepäyhtälö
$| 2| − |1 − x | < 2x.$

Kuvasta arvioidaan, että epäyhtälö pätee kun $x$ on noin välin $[− 2,5;− 0,5]$ ulkopuolella.
Kerrotaan yhtälön molemmat puolet $− 1$ :llä, jolloin samalla merkki kääntyy.

$|| 2|| − |1 − x | < 2x |1 − x2| > − 2x$

${ 2 |1 − x2| = 1 −2 x , − 1 ≤ x ≤ 1 x − 1, muulloin$
Kaksoisepäyhtälö voidaan käsitella kahdessa osassa.

$− 1 ≤ x ≤ 1 − 1 > x tai x > 1 1 − x2 > − 2x x2 − 1 > − 2x − x2 + 2x + 1 > 0 x2 + 2x − 1 > 0$

Etsitään nollakohdat.

$− x2 + 2x + 1 = 0 x2 + 2x − 1 = 0 ∘ -2------------- ∘ -2------------- x = −-2-±---2--−-4-⋅ 1 ⋅-(−-1) x = −-2-±---2--−-4-⋅ 1-⋅ (− 1) √ -- − 1 ⋅ 2 √ --1 ⋅ 2 x = 1 ± 2 x = − 1 ± 2 √-- √-- 1 + 2 ⁄∈ [− 1,1] − 1 + 2 ∈ ] − 1,1[$

Kaikki nollakohdat eivät ole määrittelyväleillä ja niitä ei siksi oteta huomioon. Tehdään merkkikaaviot.
$√ -- √ -- |--------------|----−-1 −---2-----−-1|-------1-−|--2--------|1-------| |−-x2-+-2x-−-1-|----------|----------|----−----------+------|--------| | x2 + 2x − 1 | + | − | | + | ---------------------------------------------------------------------$
Kaaviosta nähdään:

$2 √ -- − x + 2x + 1 > 0, kun 1 − 2 <-x < 1 x2 + 2x − 1 > 0, kun − 1 − √ 2 > x tai x > 1$

Epäyhtälö pätee pisteessä $x = 1$ , mutta ei $x = − 1$ . Yhdistetään tulokset ja saadaan vastaus:

$| | √ -- √ -- − |1 − x2| < 2x, kun 1 − 2 < x tai − 1 − 2 > x.$
Kolmannen asteen polynomiepäyhtälö $3 x − 2x ≤ x − 2$ .

Esimerkki 2 epäyhtälöistä
Ratkaistaan itseisarvoepäyhtälö

$| | |2x2 − 1| ≤ 4x + 2.$

$|2x2 − 1|$ :n nollakohdat ovat $∘ ---- ± 1∕2$ ja epäyhtälö voidaan jakaa kahteen tarkasteltavaan osaan:

$2x2 − 1 ≤ 4x + 2, kun 2x2 − 1 ≥ 0 ja 2 2 − 2x + 1 ≤ 4x + 2, kun 2x + 1 < 0.$

Aloitetaan ensimmäisestä, joka saadaan muotoon $2x2 − 4x − 3 ≤ 0$ . Nollakohdiksi tulevat $∘ ---- x = 1 ± 5∕2$ . Merkkikaavioon merkitään epäyhtälön ja sen ehdon, $2x2 − 1 ≥ 0$ , merkit eri nollakohtien väleissä. Kaaviosta voidaan tarkastella kumpaakin polynomia erikseen ja rajaamaan kummankin toivotut välit.

$∘ ---- ∘ ---- ∘ ---- ∘ ---- |---2---------|----−---1∕2|--1-−----5∕2---------1∕2------1 +|--5∕2-----| |2x--−-4x-−-3-|----+------|----+-----|----−-----|----−------|---+------| ----2x2-−-1--------+----------−-----------−----------+----------+------|$
Epäyhtälö pätee, kun $2x2 − 4x − 3 ≤ 0$ , mutta $2x2 − 1 ≥ 0$ , eli taulukon mukaan välillä $∘ ---- ∘ ---- 1∕2 ≤ x ≤ 1 + 5∕2$ .
Jälkimmäisen, $2 − 2x − 4x − 1 ≤ 0$ , nollakohdiksi tulevat $x = − 1 ± √12-$ .
$∘ ---- ∘ ---- ∘ ---- ∘ ---- − 1 − 1∕2 − 1∕2 − 1 + 1 ∕2 1∕2 |−-2x2-−-4x-−-1--|---−------|----+-----|------+-----|----−-----|----−------| |------2---------|----------|----------|------------|----------|-----------| -----2x--−-1---------+-----------+------------−----------−----------+------|$
Vastaavasti $∘ ---- ∘ ---- − 1 + 1∕2 ≤ x ≤ 1∕2$ . Lopuksi tulokset yhdistetään ja saadaan vastaukseksi väli
$∘ ---- ∘ ---- − 1 + 1∕2 ≤ x ≤ 1 + 5∕2.$
Trigonometrinen epäyhtälö $2 2 cos x − sin x ≥ 0$ .

Esimerkki 4 epäyhtälöistä
Epäyhtälön $2 2 x + y > 2$ tulkinta.

Esimerkki 5 epäyhtälöistä

Harjoitustehtäviä

Ratkaise epäyhtälöt:
1. $√ -- √ -- 2(x + 5) < 5(x + 2)$
2. $x − 3(x + 1) ≤ 2(1 − x)$
3. $1 − x ------≥ 0 x + 2$
4. $--x---≤ --1--- x + 1 2 − x$
5. $4 x-> x$
6. $ax ≤ 1 − 2x$
Ratkaise toisen asteen epäyhtälöt:
1. $x2 + 3x − 4 > 0$
2. $x(5 − x) ≥ 6$
3. $x2 + 2x − 8 > 0$
4. $x2 ≥ 5$
5. $2 − x + 4x ≤ 5$
6. $2 x − 4x + 4 ≥ 0$
7. $(x − 2)(2x + 1) ≤ 0$
Ratkaise itseisarvoepäyhtälöt:
1. $|3 − 2x| < 5$
2. $|x − 1| > 2$
3. $|2x − 1| > 3x$
4. $|x| + |x − 2| ≤ x + 1$
5. $||2x + 1 2|| ||-------− -|| < 0,01 3x − 1 3$
6. $| | ||1- || |x − 1 | < k, kun 0 < k < 1$

Tehtävien vastaukset: