Here be a line, if not the image is missing
 

Juuriyhtälöt

Aloitussivu

Käsiteltäessä parillisindeksisiä juuria reaalialueella oletetaan yleensä, että juurimerkintä tarkoittaa positiivista vaihtoehtoa. Juuren merkkiin onkin kiinnitettävä erityistä huomiota. Hyvä esimerkki on juuriyhtälön ratkaiseminen. Juuret voidaan usein poistaa korottamalla yhtälön molemmat puolet neliöön tai johonkin muuhun potenssiin. Tällöin saatava yhtälö ei välttämättä ole yhtäpitävä alkuperäisen kanssa, vaan sillä voi olla muitakin juuria. Saattaa myös olla, että neliöön korotetulla yhtälöllä on juuria, vaikka alkuperäisellä ei ole lainkaan ratkaisua.

Usein tilanteen tutkimisessa helpoin tapa on piirtää sopivat funktioiden kuvaajat, joiden avulla voi hahmottaa tilanteen.

M Juuriyhtälön ratkaiseminen

Esimerkkejä

  1. Ratkaistaan juuriyhtälö √ ------ x − 3 + 9 = 0 .

    Yhtälöllä ei ole yhtään reaalista ratkaisua, koska neliöjuuri on aina ei-negatiivinen eikä koskaan √ ------ x − 3 = − 9 . kuvaaja1

  2. Ratkaistaan juuriyhtälö √ -----2- 5 − x + 3x = 1 .

    Neliöjuuri on määritelty, kun 5 − x2 ≥ 0 , eli kun √ -- √ -- − 5 ≤ x ≤ 5 . Järjestellään termejä ja suoritetaan neliöönkorotus, joka rajaa määrittelyjoukkoa ehdolla x ≤ 1 3 .

    √ -----2- 5 − x = 1 − 3x 5 − x2 = 1 − 6x + 9x2 2 10x − 6x − 4 = 0 2- x = 1 tai x = − 5 .

    Toisen asteen yhtälön ratkaisuista vain x = − 2 5 sopii määrittelyvälille ja on juuriyhtälön ainoa ratkaisu. kuvaaja2

  3. √ -- √ ------ √ ------ x = x + 1 + x + 2

    M     Esimerkki juuriyhtälön ratkaisusta

  4. Ratkaistaan juuriyhtälö ∘3 ---√--------- 3√------- 9 + 2x − 1 − 2x + 1 = 0 .

    Yhtälön neliöjuuren takia: 2x − 1 ≥ 0 ⇐ ⇒ x ≥ 1 2 .

    3∘ ----√-------- √ ------- 9 + 2x − 1 = 32x + 1 √ ------- 9 + √ 2x-−-1-= 2x + 1 2x − 1 = 2x − 8.

    Jotta yhtälö pätisi, pitää olla 2x − 8 ≥ 0 eli x ≥ 4 . Suoritetaan neliöönkorotus:

    2x − 1 = 4x2 − 32x + 64 4x2 − 34x + 65 = 0 √ --- 34-±-2--29- x = 8 .

    Vain ratkaisu √-- x = 34+2-29 ≈ 5,5929 8 täyttää ehdon x ≥ 4 ja toteuttaa alkuperäisen yhtälön eli se on ainut ratkaisu. kuvaaja3

  

Harjoitustehtäviä

  
 

  1. Ratkaise neliöjuuriyhtälön reaaliset juuret:

    1.   √x--+-2-= √2x--+-1-

    2.   √ ------- 2x + 3 = |2x|

    3.    √ -- 3 x = 4x + 1

    4.   √ ------- √ ------ √ ------ 2x + 3 − 4 − x = x + 1

  2. Ratkaise yhtälö:

    1.   √x2--+-1-= 3x

    2.   √ ------- 7x − 1 − 5 = 0

    3.   √ ------ 2 − x = x + 2

    4.    ------ √ x − 2 = 1 + √--2---- x − 2

  3. Ratkaise juuriyhtälöt:

    1.   √4x--+-2-− 3 = 0

    2.   √5------- 43 − x = 2

    3.   √3------- 3x − 8 = 4

    4.   √ ------ √ -------- 3x − 1 = 610 − 2x

Tehtävien vastaukset:

  1. tehtävä
  2. tehtävä
  3. tehtävä