Vektorit

Reaaliluku vastaa pistettä suoralla, jonka yksikön pituus on määritelty. Reaalilukujen pari (x,y) vastaa pistettä tasossa, jota voidaan havainnollistaa piirtämällä xy-koordinaatisto. Kolmen reaaliluvun muodostama kolmikko (x,y,z) vastaa pistettä 3-ulotteisessa avaruudessa, jota voidaan vastaavasti havainnollistaa piirtämällä 3-ulotteinen xyz-koordinaatisto. Vaikka emme voi piirtää useampaa kuin kolmea ulottuvuutta on silti luonnollista ajatella useampiulotteisia avaruuksia ja pistettä tällaisessa avaruudessa.

Olkoot a₁,...,a_n reaalilukujoukon alkioita. Alkioiden a₁,...,a_n muodostamaa järjestettyä n-jonoa eli n-tuplaa

sanotaan vektoriksi. Reaalilukuja a₁,...,a_n sanotaan vektorin v koordinaateiksi.

Reaalilukujen muodostama vektori (a₁,...,a_n) vastaa siis pistettä n-ulotteisessa avaruudessa.

Kaikkien n-ulotteisten vektorien joukosta käytetään merkintää ⁿ, eli

Vektorien teoriassa reaalilukuja kutsutaan skalaareiksi. Nollavektorista (0, 0,..., 0) käytetään merkintää 0. Vektoreille määritellään luonnollisella tavalla yhteenlasku ja skalaarilla kertominen.

Määritelmä. Olkoot (a₁,...,a_n), (b₁,...,b_n) ⁿ ja k .

     -   Yhteenlasku: (a₁,...,a_n) + (b₁,...,b_n) = (a₁ + b₁,...,a_n + b_n).
     -   Skalaarilla kertominen: k(a₁,...,a_n) = (ka₁,...,ka_n).

Huomataan heti, että edellä määritellyt laskutoimitukset toteuttavat seuraavat säännöt (u, v, w ⁿ ja k ):

Määritelmä. Olkoon v = (a₁,...,a_n) ⁿ. Vektorin v pituus |v| on reaaliluku .

Vektoria, jonka pituus on yksi, sanotaan yksikkövektoriksi. Jokainen vektori v = (a₁,...,a_n) voidaan esittää yksikkövektorien e₁ = (1, 0,..., 0),e₂ = (0, 1, 0,..., 0),...,e_n = (0,..., 0, 1) avulla komponenttimuodossa

Linkit:
Vektorien sisätulo