Vektoriavaruuden ominaisuuksia

Määritellään vektorien X ja Y erotus:

Vektoriyhtälöstä X + Y = Z voidaan ratkaista X lisäämällä vektorin Y vastavektori -Y molemmille puolille, siis

Oletetaan jatkossa, että kolmikko (V, +, ^. ) on vektoriavaruus.

Lause. Oletetaan, että a ja X V. Jos a = 0 tai X = , niin aX = .

Todistus. Oletetaan ensin, että a = 0. Koska 0X + 0X = (0 + 0)X = 0X niin päättelyn (*) perusteella 0X = 0X - 0X = . Jos X = , saadaan samoin a + a = a( + ) = a ja käyttämällä päättelyä (*) nähdään, että a = .

Lause. Olkoot a ja X V. Jos a0 ja aX = , niin X = .

Todistus. Oletetaan, että aX = ja a0. Silloin

missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa edellisestä lauseesta.

Lause. Jos X V niin (-1) ^. X on alkion X vasta-alkio.

Todistus. Pitää osoittaa, että X + (-1) ^. X = . Saadaan

Edellisten lauseiden avulla saadaan kaavat -(X -Y ) = Y -X ja a(X -Y ) = aX -aY kaikilla X, Y V ja a . Liitäntälain V2 perusteella kolmen vektorin X,Y,Z V summa voidaan kirjoittaa muodossa X + Y + Z. Sama pätee yleisestikin useamman vektorin summaan. Yleisesti vektoriavaruudessa voidaan muodostaa lauseke

joka siis merkitsee erästä (yksikäsitteistä) vektoria. Tätä sanotaan vektorien X₁,...,X_n lineaarikombinaatioksi.

Linkit:
Vektoriavaruus