Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		LINEAARIALGEBRA
 

Esimerkkejä aliavaruuksista 2

Esimerkki. Mitkä seuraavista joukoista muodostavat vektoriavaruuden (R3, +, . ) aliavaruuden:

S1 = {(x,0,0) |x (- R}, S2 = {(1,x,0) |x (- R}, S3 = {(x,y,z) |x, y,z (- R, x + y + z = 0}, S4 = {(x,x2,0) |x (- R}.

Olkoot a,b (- R.

Käyttämällä aliavaruuskriteeriä (AB) voidaan tutkia muodostaako S1 aliavaruuden. Koska a(x, 0, 0) + b(y, 0, 0) = (ax + by, 0, 0) (- S1, on (S1, +, . ) aliavaruus.

Vektoriavaruuden (R3, +, . ) nollavektori on h = (0, 0, 0). Nollavektori ei kuitenkaan kuulu joukkoon S2. Täten (S2, +, . ) ei ole aliavaruus, sillä kuten sivulla Aliavaruus todetaan on vektoriavaruuden nollavektori myös sen aliavaruuden nollavektori.

Joukossa S3 on voimassa aliavaruuskriteeri (AB) :

a(x1,y1,z1) + b(x2,y2,z2) = (ax1 + bx2,ay1 + by2,az1 + bz2) (- S3,

sillä (ax1 + bx2) + (ay1 + by2) + (az1 + bz2) = a(x1 + y1 + z1) + b(x2 + y2 + z2) = a . 0 + b . 0 = 0. Kolmikko (S3, +, . ) on siis vektoriavaruuden (R3, +, . ) aliavaruus.

Joukkoon S4 kuuluu alkio (1, 1, 0). Tämän summa itsensä kanssa on (1, 1, 0) + (1, 1, 0) = (2, 2, 0). Alkio (2, 2, 0) ei kuulu joukkoon S4, joten joukon S4 alkiot eivät toteuta aliavaruuskriteeriä (A). Täten S4 ei muodosta aliavaruutta.

Linkit:
Aliavaruus