Aliavaruus

Määritelmä. Jos U V ja U on vektoriavaruus vektoriavaruudessa (V, +, ^. ) määriteltyjen laskutoimitusten + ja  ^.  suhteen, sanotaan kolmikkoa (U, +, ^. ) vektoriavaruuden (V, +, ^. ) aliavaruudeksi.

Triviaalisti (V, +, ^. ) on itse itsensä aliavaruus, muita sen aliavaruuksia sanotaan aidoiksi.

Huomaa, että vektoriavaruuden (V, +, ^. ) nollavektori on myös sen aliavaruuden (U, +, ^. ) nollavektori. Jos aliavaruuden (U, +, ^. ) nollavektori olisi ', niin silloin vektoriavaruudessa V voitaisiin laskea ' = ' + '. Lisäämällä tässä yhtälössä puolittain nollavektorin ' vastavektori vektoriavaruudessa V saadaan = '.

Koska aliavaruus (U, +, ^. ) on vektoriavaruus, joukko U sisältää alkioidensa summat ja skalaarimonikerrat. Tällöin sanotaan, että U on suljettu vektoriavaruuden laskutoimitusten suhteen. Seuraavassa lauseessa määritellään nämä ehdot tarkasti ja todetaan, että ne ovat riittävät ehdot sille, että vektoriavaruuden osajoukko on aliavaruus.

Lause. [Aliavaruuskriteeri] Vektoriavaruuden (V, +, ^. ) joukon V epätyhjä osajoukko U muodostaa aliavaruuden (U, +, ^. ) jos ja vain jos U toteuttaa ehdot:

     (A)   jos X,Y U, niin X + Y U,
     (B)   jos a ja X U, niin aX U.

Todistus. Kuten lauseen edellä todettiin on selvää, että jos (U, +, ^. ) on aliavaruus, niin ehdot (A) ja (B) toteutuvat. Oletetaan nyt, että vektoriavaruuden (V, +, ^. ) joukon V osajoukolle U ehdot (A) ja (B) toteutuvat, ja näytetään, että tästä seuraa se, että (U, +, ^. ) on aliavaruus. Pitää siis näyttää, että (U, +, ^. ) on vektoriavaruus. Koska U on joukon V osajoukko, sen alkiot toteuttavat triviaalisti ehdot V1, V2 ja V5-V8, koska joukon V alkiot toteuttavat ne. Koska kaikilla X U V on sivun Vektoriavaruuden ominaisuuksia ensimmäisen lauseen mukaan 0X = , nähdään valitsemalla ehdossa (B) luvuksi a = 0, että U. Samoin valitsemalla a = -1 nähdään, että -X U kaikilla X U. Nyt postulaattien V 3 ja V 4 yhtälöt X + = X ja X + (-X) = pätevät joukossa U, koska ne pätevät joukossa V.

Ehdot (A) ja (B) ovat yhdessä ekvivalentit seuraavan ehdon kanssa:

Nollavektori muodostaa yksinään aliavaruuden ({}, +, ^. ). Tämä ja vektoriavaruus itse ovat triviaalit aliavaruudet.

Linkit:
Vektoriavaruus
Vektoriavaruuden ominaisuuksia
Esimerkkejä aliavaruuksista
Esimerkkejä aliavaruuksista 2
Aliavaruuden muodostaminen