smr018.html

Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003

LINEAARIALGEBRA

Esimerkkejä aliavaruuksista

Esimerkki. Merkitään

C(R) = {f |f on jatkuva funktio R --> R}

ja määritellään funktioiden summa ja skaalarimonikerta kuten funktiojoukossa F() (katso Esimerkkejä vektoriavaruudesta):

f + g : (f + g)(x) = f(x) + g(x) A x (- R, af : (af )(x) = a .f(x) A a, x (- R.

Näin voidaan tehdä, koska jatkuvien funktioiden summa on jatkuva, samoin jatkuva funktio kerrottuna skalaarilla on jatkuva. Aliavaruuskriteerin perusteella (C(), +,^.) on vektoriavaruuden (F(), +,^.) aliavaruus.

Esimerkki. Tutkitaan joukon ² = {(x,y) | x,y } muodostaman vektoriavaruuden (², +,^.) aliavaruuksia. Olkoon u jokin avaruuden ² vektori. Näyttämällä aliavaruuskriteerin ehdon (AB) voimassaolo osoitetaan, että vektorin u virittämä avaruus

L(u) = {cu | c (- R}

muodostaa vektoriavaruuden (², +,^.) aliavaruuden (L(u), +,^.). Selvästi joukko L(u) on epätyhjä. Olkoon a,b ja c₁u, c₂u L(u). Silloin

a(c1u) + b(c2u) = (ac1 + bc2)u (- L(u),

joten (L(u), +,^.) on vektoriavaruuden (², +,^.) aliavaruus kaikilla u ². Nämä aliavaruudet vastaavat tasossa origon kautta kulkevia suoria.

Vastaavasti vektoriavaruuden (³, +,^.) aliavaruuksia ovat origon kautta kulkevat suorat ja tasot. Sivulla Aliavaruuden dimensio huomataan, ettei vektoriavaruudella (³, +,^.) muita epätriviaaleja aliavaruuksia olekaan.

Linkit:
Aliavaruus
Esimerkkejä aliavaruuksista 2
Esimerkkejä vektoriavaruuksista
Aliavaruuden dimensio