Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Aliavaruuden muodostaminen

Vektoriavaruudesta (V, +, . ) voidaan muodostaa aliavaruuksia valitsemalla jotkin joukon V vektorit X1,...,Xn ja muodostamalla näiden kaikki mahdolliset lineaarikombinaatiot. Saadaan siis joukko

L(X1, ...,Xn) =  {a1X1 + ...+  anXn  |a1,...,an  (-  R}.

Kolmikko (L(X1,...,Xn), +, . ) on vektoriavaruuden (V, +, . ) aliavaruus: Joukko L(X1,...,Xn) on selvästi epätyhjä. Jos X ja Y ovat vektorien X1,...,Xn lineaarikombinaatioita, niin samoin on myös aX + bY kaikilla a,b  (- R, joten aX + bY  (- L(X1,...,Xn). Aliavaruutta (L(X1,...,Xn), +, . ) sanotaan vektoreiden X 1,...,Xn virittämäksi tai generoimaksi. Jos L(X1,...,Xn) = V sanotaan, että vektorit X1,...,Xn virittävät tai generoivat vektoriavaruuden (V, +, . ).

Tunnetuista aliavaruuksista voidaan muodostaa uusia aliavaruuksia myös seuraavan lauseen avulla.

Lause. Jos (U1, +, . ) ja (U 2, +, . ) ovat vektoriavaruuden (V, +, . ) aliavaruuksia, niin samoin on niiden leikkaus (U1  /~\ U2, +, . ). Sama pätee myös useamman (jopa äärettömän monen) aliavaruuden leikkaukseen.

Todistus. Olkoon h vektoriavaruuden (V, +, . ) nollavektori. Koska h  (- U 1 ja h  (- U2, niin h  (- U1  /~\ U2. Leikkaus on siis epätyhjä.

Jos a,b  (- R ja X,Y  (- U1  /~\ U2, silloin aX + bY  (- U1 ja aX + bY  (- U2, joten aX + bY  (- U1  /~\ U2. Aliavaruuskriteerin (AB) nojalla (U1  /~\ U2, +, . ) on aliavaruus.

Päättely voidaan yleistää useamman aliavaruuden leikkaukseen. []


Linkit:
Aliavaruus
Vektoriavaruuden ominaisuuksia