Huomioita aliryhmästä

Äärellisille ryhmille, siis ryhmille, joiden kertaluku on jokin äärellinen luku, voidaan aliryhmäkriteerin ehtoa hieman helpottaa ja päästä tarkasteluissa helpommalla. Tämä huomataan seuraavassa lauseessa ja sen seurauksessa.

Lause. Olkoon (G,*) ryhmä ja H jokin joukon G äärellinen epätyhjä osajoukko, joka on suljettu binäärioperaation * suhteen. Silloin (H,*) on ryhmän (G,*) aliryhmä.

Todistus. Oletus siis on, että jos a,b H, missä H on joukon G äärellinen epätyhjä osajoukko, niin a * b H. Pitää näyttää, että a * b^-1 H, joilloin väite seuraa aliryhmäkriteerin nojalla.

Oletuksesta seuraa, että b*b = b² H ja samoin siis b^k H kaikilla k > 1. Siis, jos a H, niin a*b^k H kaikilla k > 0. Koska joukon H kertaluku on äärellinen, voidaan olettaa, että H = n. Täten joukon H alkioiden b,b²,b³,...,bⁿ⁺¹ joukossa, jossa on n + 1 alkiota, on jokin alkio kahteen kertaan. Täten bⁱ = b^j, joillekin 1 < i < j < n + 1. Oletuksen nojalla a*bⁱ = a*b^j H. Käyttäen ryhmän yhtälön supistussääntöä saadaan, a * b^-1 = a * b^j-i-1. Koska j - i - 1 > 0, saadaan a * b^-1 H.

Seuraus. Olkoon (G,*) äärellinen ryhmä ja H G epätyhjä osajoukko. Jos kaikilla a,b H on a * b H, niin (H,*) on ryhmän (G,*) aliryhmä.

Todistetaan vielä yksi aliryhmien ominaisuus kaikille ryhmille, ei yksin äärellisille.

Lause. Olkoon I jokin lukujoukko. Jos (H_i,*) on ryhmän (G,*) aliryhmä kaikilla i I, niin (H_i,*) on ryhmän (G,*) aliryhmä.

Todistus. Koska ryhmän G neutraalialkio e kuuluu kaikkiin sen osajoukkoihin, jotka muodostavat aliryhmän, kuuluu e myös joukkoon H_i, joka siis on epätyhjä.

Jos a,b H_i niin a,b H_i kaikilla i I. Koska (H_i,*) on aliryhmä kaikilla i I, niin a * b^-1 H _i kaikilla i I. Täten a * b^-1 H_i. Väite seuraa aliryhmäkriteeristä.

Linkit:
Aliryhmä