Huomioita ryhmähomomorfismista

Määritelmä. Olkoon f : (G,*) (G',•) ryhmähomomorfismi. Jos kuvaus f on

     (i)   injektio, niin kuvausta f sanotaan monomorfismiksi,
     (ii)   surjektio, niin kuvausta f sanotaan epimorfismiksi, ja
     (iii)   bijektio, niin kuvausta f sanotaan isomorfismiksi.

Ryhmiä (G,*) ja (G',•) sanotaan isomorfisiksi, jos on olemassa jokin isomorfinen kuvaus f : (G,*) (G',•). Ryhmien (G,*) ja (G',•) isomorfisuudesta käytetään merkintää (G,*) (G',•). Mikäli ryhmät eivät ole isomorfisia voidaan merkitä (G,*) / (G',•).

Jos kuvaus f : (G,*) (G',•) on injektiivinen homomorfismi, niin kuvaus f : (G,*) (Im (G),•) on isomorfismi.

Lause. Olkoot f : (G,*) (G',•) ja g : (G',•) (G'',) ryhmähomomorfismeja.

     (i)   Yhdistetty kuvaus gof : (G,*) (G'',) on homomorfismi.
     (ii)   Jos kuvaukset f ja g ovat isomorfismeja, samoin on yhdistetty kuvaus gof.
     (iii)   Jos kuvaus f on isomorfismi, niin samoin on sen käänteiskuvaus f^-1 : (G',•) (G,*).

Todistus. (i) Olkoon a,b G. Suoraan laskemalla käyttäen homomorfisuutta saadaan: (gof)(a * b) = g(f(a * b)) = g(f(a) • f(b)) = g(f(a)) g(f(b)) = (gof)(a) (gof)(b). Siis yhdistetty kuvaus on homomorfismi.

(ii) Kohdan (i) perusteella yhdistetty kuvaus gof on homomorfismi. Vielä pitää osoittaa, että tämä yhdistetty kuvaus on bijektio. Tämän osoittaminen on suoraviivaista ja jätetään se harjoitukseksi.

(iii) Käänteiskuvaus on triviaalisti bijektiivinen. Vielä pitää osoittaa käänteiskuvauksen homomorfisuus. Olkoon a',b' G'. Koska f on isomorfismi, niin on olemassa sellaiset a, b G, että a' = f(a) ja b' = f(b). Nyt kuvauksen f homomorfisuudesta seuraa, että f^-1 (a' • b') = f^-1(f(a) •f(b)) = f^-1(f(a*b)) = a*b = f^-1(a') *f^-1(b'). Täten käänteiskuvaus on isomorfismi.

Kaikkien ryhmien joukossa ryhmien isomorfia on ekvivalenssirelaatio. Relaation symmetrisyys seuraa edellisen lauseen kohdasta (iii). Transitiivisuus puolestaan seuraa saman lauseen kohdasta (ii). Relaation refleksiivisyyden toteamiseksi huomaamme, että identiteettikuvaus id: (G, *) (G,*), missä id(x) = x kaikilla x G, on isomorfismi.

Ryhmäteorian kannalta isomorfiset ryhmät (G,*) ja (G',•) ovat samanlaiset. Niiden alkiot vastaavat bijektiivisesti toisiaan, ja joukon G alkioiden binäärioperaatiota vastaa joukossa G' näiden alkioiden kuvien binäärioperaatio. Jos erityisesti joukot G ja G' ovat äärelliset niin ryhmän (G, *) ryhmätaulusta saadaan ryhmän (G',•) ryhmätaulu korvaamalla jokainen alkioista isomorfisella kuvallaan.

Linkit:
Ryhmien homomorfia
Ekvivalenssirelaatio