Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		RYHMÄ
 

Ryhmien homomorfialauseen seuraus

Jos (N,*) <|_ (G,*), kuvausta

p : (G, *) --> (G/N, .), p(a) = a * N A a (- N,

missä (a * N) . (b * N) = a * b * N, sanotaan (luonnolliseksi) projektioksi ryhmältä (G,*) tekijäryhmälle (G/N, . ). Kuvaus on triviaalisti surjektiivinen ja se on homomorfismi, sillä kaikilla a,b (- G :

p(a *b) = a * b * N = (a * N ) .(b * N ) = p(a) .p(b).

Kuvaus on siis epimorfismi.

Olkoon f : (G,*) --> (G',•) ryhmähomomorfismi. Valitaan nyt N = ker(f). Silloin homomorfialauseen nojalla

f(a) = F(a * ker(f )) = F(a *N ) = F (p(a)) = (F o p)(a) A a (- G,

missä F on kuvaus (G/N, . ) --> (Im (f),•). Siis f = Fop. Sama asia voidaan ilmaista sanomalla, että oheinen diagramma kommutoi (alkioiden kuvautuminen ei riipu kuljetusta reitistä).

Homomorfialauseen nojalla ryhmän (G,*) jokainen homomorfinen kuva on isomorfinen jonkin ryhmän (G,*) tekijäryhmän kanssa. Kääntäen, ryhmän (G,*) jokainen tekijäryhmä (G/N, . ) on isomorfinen ryhmän (G,*) jonkin homomorfisen kuvan kanssa. Nimittäin edellä esitetyn nojalla G/N = Im (p), missä p on projektio (G,*) --> (G/N, . ).

PIC

Linkit:
Ryhmien homomorfialause