Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		RYHMÄ
 

Ryhmätaulu

Äärellinen ryhmä (G,*) voidaan esittää ryhmätauluna. Ryhmätaulun vaaka- ja pystyrivit nimetään ryhmän alkioiden mukaisesti. Olkoot a ja b kaksi ryhmän alkiota, silloin vaakarivin a ja pystyrivin b leikkauskohtaan tulee alkio a * b. Ryhmän yhtälön supistussäännön perusteella jokaisella vaaka- ja pystyrivillä esiintyy jokainen ryhmän alkio tarkalleen yhden kerran. Parhaiten ryhmätaulun käsite selviää yksinkertaisella esimerkillä.

Esimerkki. Olkoon joukossa G kolme alkiota e,a ja b. Oletetaan, että alkio e käyttäytyy neutraalialkion tavoin. Kun otetaan huomioon vaatimus, että jokaisella ryhmätaulun vaaka- ja pystyrivillä esiintyy kukin alkio tarkalleen yhden kerran on vain yksi vaihtoehto järjestää alkiot tauluun ja tämä järjestys määrittelee operaation * yksikäsitteisesti.

*eab | eeab aabe bbea
Onko saatu taulu ryhmätaulu eli muodostaako G ryhmän operaation * suhteen? Ryhmän postulaattien (G0), (G2) ja (G3) toteutuminen on helppo havaita. Operaation * assosiatiivisuuden todistaminen vaatisi jo vähän työtä. Tältä työltä vältytään etsimällä jokin tunnettu kolmen alkion ryhmä, jolla on kyseinen ryhmätaulu. Tällainen ryhmä on (Z3, +) eli jäännösluokkien modulo 3 muodostama additiivinen ryhmä (katso sivu Esimerkkejä ryhmistä 2).
- +012 -- 0012 1120 2201

Linkit:
Ryhmä
Ryhmän perusominaisuuksia
Esimerkkejä ryhmistä 2