Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		POLYNOMIRENKAAT
 

Kuntalaajennus polynomirenkaassa

Määritelmä. Jos (K, +, . ) on kunnan (L, +, . ) alikunta, sanotaan, että (L, +, . ) on kunnan (K, +, . ) laajennuskunta tai kuntalaajennus (extension field, field extension).

Olkoon (K, +, . ) kunta ja p(x) jaoton polynomi yli kunnan K.

Lause. Kunnalla (K[x]/ < p(x) >, +, . ) on alikuntana (K', +, . ), joka on isomorfinen kunnan (K, +, . ) kanssa. Kun samaistetaan kunnat K ja K' on kunta K[x]/ < p(x) > kunnan K laajennus. Tässä laajennuksessa polynomilla p(x) on nollakohta.

Todistus. Merkitään I =< p(x) >, siis I on jaottoman polynomin generoima pääihanne. Kuvaus

j : (K, +, .) --> (K[x]/I,+, .), j(a) = a + I, A a (- K,

on kuntahomomorfismi. Jätetään asian tarkistaminen harjoitukseksi. Sivun Huomioita kunnasta toisen lauseen mukaan kuvauksen j kuva K' = Im (j) on isomorfinen kunnan K kanssa. Koska K' on isomorfinen kunnan kanssa, on se itsekin kunta, joten se on kunnan K[x]/I alikunta. Siis

' K -~ K = {a + I |a (- K}.

Kuntien K ja K' samaistaminen tarkoittaa nyt, että kunnan K alkiot samaistetaan jäännösluokkiin a + I.

Erityisesti siis polynomin p(x) (- K[x] kertoimia voidaan ajatella myös kunnan K[x]/I alkioina. Koska symboli x sai merkityksen kunnan K[x] alkioiden merkinnässä, käytetään symbolia y polynomien yli kunnan K[x]/I muuttujana. Siis p(y) (- (K[x]/I)[y]. Polynomin p(y) nollakohta on x + I (- K[x]/I, sillä käyttäen jäännösluokkien laskusääntöjä saadaan

p(x + I) = p(x) + I = 0 + I = 0K[x]/I.

[]

Linkit:
Huomioita kunnasta