1) Olkoon tutkittavana funktioiden y1(x) = sin x, y2(x) = cos x ja y3(x) = cos 2x lineaarinen riippuvuus tai riippumattomuus tarkasteluvälinä koko reaaliakseli.
Testiyhtälö on
1 sin x +
2 cos x +
3 cos 2x = 0 kaikilla x
.
Koska tämä on voimassa kaikilla arvoilla x, se on erityisesti voimassa, jos x = 0, x = /2
tai x =
. Näillä arvoilla saadaan yhtälöryhmä
Laskemalla ensimmäinen ja kolmas yhtälö yhteen päädytään tulokseen 3 = 0, minkä
jälkeen seuraa selvästikin myös
1 =
2 = 0.
Koska kaikki kertoimet 1,
2,
3 ovat välttämättä = 0, funktiot ovat lineaarisesti
riippumattomat.
2) Olkoon tarkasteltavana funktiot y1(x) = sin 2x, y2(x) = cos 2x ja y3(x) = cos 2x.
Testiyhtälö on nyt
1 sin 2x +
2 cos 2x +
3 cos 2x = 0.
Samalla tavalla kuin edellä saataisiin nyt yhtälöryhmä
Tällä on edellisestä poiketen ratkaisuna esimerkiksi 1 = -
2 =
3 = 1. Tuloksesta ei
kuitenkaan voida päätellä, että funktiot olisivat lineaarisesti riippuvia: voisihan olla, että
valitsemalla joitakin muita arvoja kuin 0,
/2 ja
muuttujalle x päädyttäisiin
yhtälöryhmään, jolla nollasta eroavia ratkaisuja ei olisi. Koska kaikkia muuttujan x arvoja
ei tällä tavoin voida käydä lävitse, ei menettely johda tulokseen.
Funktiot kuitenkin ovat lineaarisesti riippuvia, sillä trigonometrian kaava
cos 2x = cos 2x - sin 2x eli sin 2x - cos 2x + cos 2x = 0
on voimassa kaikilla muuttujan x arvoilla. Testiyhtälöllä on siten ratkaisuna ainakin
1 = 1,
2 = -1,
3 = 1.