Sovellukset : Ydinfysiikka

Radiohiiliajoitus

Jokaiselle radioaktiiviselle atomiytimelle on olemassa tietty todennäköisyys sen hajoamiseen määrätyllä aikavälillä. Hajoavien atomien lukumäärä Delta N on siten suoraan verrannollinen aktiivisten atomiytimien lukumäärään N ja lyhyellä aikavälillä myös likimain tarkasteltavaan aikaan Delta t :

Delta*N [Maple Bitmap] -lambda*N*Delta*t .

Tämä voidaan kirjoittaa muotoon

Delta*N/(Delta*t) [Maple Bitmap] -lambda*N .

Kun Delta*t -> 0, approksimatiivinen yhtälö muuttuu tarkaksi yhtälöksi ja vasen puoli lähestyy derivaattaa:

diff(N,t) = -lambda*N ,

On siis saatu radioaktiivisen hajoamisen differentiaaliyhtälö. Tässä lambda on verrannolisuuskerroin, ns. hajoamisvakio . Luonnollinen alkuehto on aineen määrä tarkastelun alussa hetkellä t = 0: N (0) = N[0] .

Poistetaan mahdolliset aiemmat muuttujat ja syötetään differentiaaliyhtälö alkuehtoineen:

> restart;

> yhtalo:= diff(n(t), t)=-lambda*n(t);

yhtalo := diff(n(t),t) = -lambda*n(t)

> alkuehto:= n(0)=n[0];

alkuehto := n(0) = n[0]

Ratkaisuksi saadaan

> rtk:= dsolve({yhtalo, alkuehto}, n(t));

rtk := n(t) = n[0]*exp(-lambda*t)

> ainemaara:= subs(rtk, n(t));

ainemaara := n[0]*exp(-lambda*t)

Radioaktiivisen aineen puoliintumisaika T[p] on se aika, jossa radioaktiivisen aineen määrä on vähentynyt puoleen. Hajoamisvakio voidaan lausua puoliintumisajan avulla:

> hajvakio:= solve(subs(t=T[p],ainemaara)=n[0]/2, lambda);

hajvakio := ln(2)/T[p]

Tällöin ainemäärä saa muodon

> subs(lambda=hajvakio, ainemaara):
ainemaaratoisin:= simplify(%);

ainemaaratoisin := n[0]*2^(-t/T[p])

Jokainen puoliintumisajan pituinen ajanjakso merkitsee ainemäärän puolittumista:

> seq(subs(t=k*T[p], ainemaaratoisin), k=0..10);

n[0], 1/2*n[0], 1/4*n[0], 1/8*n[0], 1/16*n[0], 1/32...

Esimerkkinä olkoon eräässä fossiilinäytteessä havaittu radiohiilipitoisuus, joka oli 9 % vapaana olevan aineen radiohiilipitoisuudesta. Radiohiilen puoliintumisajaksi tiedetään 5730 vuotta. Näytteen ikä voidaan tämän perusteella määrittää, jos oletetaan, että luonnossa vapaana olevan aineen radiohiilipitoisuus ei ole muuttunut eikä näytteessä ole sen maahan joutumisen jälken tapahtunut hiiliaineenvaihduntaa. Näytteeseen aikoinaan sitoutunut radiohiili on tällöin aktiivisuutensa takia vähitellen vähentynyt todetulle yhdeksän prosentin tasolle. Saadaan siis ehto

> ehto:= 0.09*n[0]=subs(T[p]=5730, ainemaaratoisin);

ehto := .9e-1*n[0] = n[0]*2^(-1/5730*t)

Näytteen iäksi saadaan

> solve(ehto, t);

19905.62571

siis lähes 20000 vuotta.

Tehtävä

Plutoniumin isotoopin 239 puoliintumisaika on noin 24100 vuotta. Kauanko kestää, ennen kuin plutoniumia sisältävän materiaalin aktiivisuus on laskennut a) 10 prosenttiin, b) yhteen prosenttiin alkuperäisestä? Voidaanko määritellä 'kymmenesosaan laskemisaika' samaan tapaan kuin puoliintumisaika? Millainen on näiden aikojen suhde?

Sovelluksia: radioaktiivinen hajoamisketju

SKK & MS 12.07.2001