Radioaktiivinen hajoaminen

Radioaktiivinen hajoaminen on ilmiö, jossa aktivoitunut, epästabiili atomiydin vapauttaa energiaansa -, - tai -säteilyn kautta. Hiukkassäteilyn eli - ja -säteilyn tapauksessa samalla muuttuu myös atomiytimen sisäinen kokoonpano. Tällaisen hajoamisen kautta alkuaine muuttuu toiseksi.

Erityisen paljon tutkittuja ovat ydinreaktorien polttoainesauvoihin jäävien radioaktiivisten aineiden hajoamisketjut. Polttoainesauvoista muodostuva pitkään radioaktiivinen jäte aiheuttaa huolestumista, koska sauvoissa olevien radioaktiivisten aineiden hajoaminen on niin hidasta, että säteilyongelma säilyy luonnollisen hajoamisen kautta akuuttina vuosituhansia. Tässä esimerkissä tarkastelemme radiumin hajoamista sekä yksinkertaistettua radium ytimen hajoamisketjua lyijyksi . Tämä ketju muodostaa loppuosan varsin tärkeästä hajoamisketjusta.

Jokaiselle radioaktiiviselle atomiytimelle on olemassa tietty todennäköisyys sen hajoamiseen määrätyllä aikavälillä. Hajoamisen kautta syntyvien tytäratomien lukumäärä on siten suoraan verrannollinen aktiivisten atomiytimien lukumäärään. Niinpä voidaan määrittää radioaktiivinen hajoamislaki

,

missä N on radioaktiivisten ytimien lukumäärä, t on aika ja radioaktiivinen hajoamisvakio, joka määrittää todennäköisyyden atomiytimen spontaanille hajoamiselle annetulla ajanhetkellä. Hajoamislain perusteella voidaan määrittää ns. puoliintumisaika , joka ilmoittaa sen aikayksikön, jossa puolet alkuperäisistä ytimistä on hajonnut. Integroimalla saadaan hajoamattomien ytimien lukumäärälle

,

jossa on ydinten lukumäärä ajanhetkellä t = 0. Ratkaisemalla N = saadaan puoliintumisajalle . Tällöin hajoamislaille pätee

Yksinkertainen hajoamistilanne

Radium on yksi väliydin pitkäaktiivisen :n hajoamisketjussa. :n puoliintumisaika on 5,75 vuotta kun se hajoaa lyhytaktiiviseksi -ytimeksi. Lasketaan kuinka paljon 100 kg:sta :sta on jäljellä 70 vuoden kuluttua.

Laskujen aluksi on syytä hävittää mahdollisista aiemmista laskuista jääneet muuttujat.

> restart;

Ytimien hajoamista kuvaava differentiaaliyhtälö.

> yht:= diff(n(t), t)=-lambda*n(t);

Alkuehdon määrittää tilanne, jossa on vain ytimiä. Lasketaan ainemäärä suoraan kilogrammoissa.

> alkuehto:= n(0)=100;

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö.

> rtk:= dsolve({yht, alkuehto}, n(t));

Sijoitetaan hajoamisvakio. Käytetään aikayksikkönä vuosia.

> ainemaara:= subs(lambda=log(2)/5.75, rhs(rtk));

Piirretään kuvaaja ainemäärän kehitykselle ajan fuktiona 50 vuoden aikajaksolla.

> plot(ainemaara, t=0..50);

70 vuoden jälkeen jäljelle jääneen ainemäärän paino kilogrammoissa selviää sijoittamalla ajaksi 70 vuotta.

> jaljella:= subs(t=70, ainemaara):
evalf(%);

Tuloksena on siis 21,6 grammaa Radium :aa.

Hajoamisketju

Myös Radium on väliydin :n hajoamisketjussa. Hajoamisketju ytimestä eteenpäin sisältää useita lyhytaikaisia ja muutamia pitkäaikaisia väliytimiä ennen hajoamista pysyväksi lyijy-ytimeksi . Tarkastelemme nyt hajoamista väliytimet ja huomioiden. Puoliintumisajat ytimien hajoamisille ovat seuraavat:

Muodostetaan hajoamisketjua kuvaavat differentiaaliyhtälöt:

jossa on -atomien lukumäärä ja vastaavasti :n hajoamisvakio. Vastaavasti alaindeksi ' 2 ' viittaa :n, ' 3 ' :n ja ' 4 ' :n vastaaviin suureisiin. Ratkaistaan hajoamisketjun differentiaaliyhtälöryhmä ja piirretään kuvaaja ytimien lukumäärille ajan suhteen.

Ytimien hajoamisia ja toisikseen muuttumista kuvaa seuraava normaaliryhmä.

> ryhma1:= diff(n[1](t), t)=-lambda[1]*n[1](t), diff(n[2](t), t)=lambda[1]*n[1](t)-lambda[2]*n[2](t), diff(n[3](t), t)=lambda[2]*n[2](t)-lambda[3]*n[3](t), diff(n[4](t), t)=lambda[3]*n[3](t);

Ongelman tuntemattomat funktiot ovat ketjun eri alkuaineiden ydinten lukumäärät.

> tuntemattomat1:= {n[1](t), n[2](t), n[3](t), n[4](t)};

Alkuehdon määrittää tilanne, jossa on kpl ytimiä (n. 3.72 × g):

> alkuehto1:= n[1](0)=10^16, n[2](0)=0, n[3](0)=0, n[4](0)=0;

Ratkaistaan differentiaaliyhtälöryhmä ja sievennetään tulokset:

> rtk1:= dsolve({ryhma1, alkuehto1}, tuntemattomat1):
simplify(%);

> maarat1:= subs(rtk1, [n[1](t), n[2](t), n[3](t), n[4](t)]):

Määritellään hajoamisvakiot:

> lambda[1]:= log(2)/3.6;
lambda[2]:= log(2)/(10.6/24);
lambda[3]:= log(2)/(61/60/24);

Piirretään kuva ainemäärien muuttumisesta ajan funktiona. Tarkasteltavana aikavälinä käytetään yhtä kuukautta.

> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> display(plot(maarat1[1], t=0..30, color=red), plot(maarat1[2], t=0..30, color=green), plot(maarat1[3], t=0..30, color=blue), plot(maarat1[4], t=0..30, color=cyan));

Lähtöytimien (punainen) hajoamisessa syntyy ensin vihreällä merkittyjä ytimiä jotka nopeasti hajoavat sinisellä merkityiksi ytimiksi. Niiden puoliintumisaika on kuitenkin niin lyhyt, että ne hajoavat hyvin nopeasti ytimiksi. Jo viidentoista päivän kuluttua lähtöhetkestä on jäljellä lähinnä vain vakaita turkoosilla piirrettyjä ytimiä. Eniten niiden syntymistä hidastaa lähtöytimien verrattain lyhyt puoliintumisaika.

Tehtävä

Testaa puoliintumisajan vaikutusta radioaktiivisessa hajoamisessa. Mikäli puolitat :n puoliintumisajan, kuinka paljon vähemmän ytimiä on jäljellä 4 puoliintumisajan jälkeen verrattuna todelliseen tilanteeseen?

Mikäli haluat tutustua tarkemmin radioaktiivisiin hajoamisketjuihin, voit tutustua niihin Internetissä Uranium Information Centren kotisivuilla Australiassa. Loistava laskuri hajoamisketjujen simuloimiseksi löytyy Project Javan kotisivuilta, missä yksi ohjelmointikilpailutyö keskittyy hajoamisketjun laskemiseen.