Helsingistä Tokioon 2

Helsingistä lennetään lyhintä tietä Tokioon. Mihin suuntaan Helsingistä on lähdettävä? Lentokorkeuden vaikutusta ei oteta huomioon. Anna vastaus asteen tarkkuudella pohjoissuunnasta itään päin mitattuna.

Maapallon säde on 6370 km ja kaupunkien maantieteelliset koordinaatit ovat:

Helsinki: 60o pohjoista leveyttä, 25o itäistä pituutta.
Tokio: 36o pohjoista leveyttä, 140o itäistä pituutta.

Ratkaisu

Olkoon Helsingin paikkavektori r1 ja Tokion paikkavektori r2. Nämä voidaan kirjoittaa muotoon

ri = cos hicos fi - i + cos hisin fi -- j + sin hi -- k,  (i = 1, 2),

jolloin yksikkönä on maapallon säde. Maapallon keskipisteen, Helsingin ja Tokion määräämän tason normaalivektori on tällöin n = r1 × r2 ja lennon lähtösuunta on s = n × r1.

Koska vastausta pyydetään kulmana, joka syntyy lähtösuunnan ja pohjoissuunnan väliin, pohjoissuunta pitää määrittää. Helsingin idänsuunnan vektori on vektori, joka sijaitsee Helsingin horisonttitasossa (maapalloa Helsingin kohdalla sivuavassa tasossa) ja osoittaa itään. Koska yksikkövektori -- k on maapallon akselin suuntainen, on idänsuunnan vektori vE = - k × r1. Pohjoissuunnan vektoriksi saadaan vN = r1 × vE.

Vektoreiden vN ja s välinen kulma a saadaan skalaaritulon avulla.

cos a = -vN-.s- |v ||s| N josta a = arccos (vN--.s- |v ||s| N).

Lausekkeet eivät enää ole kovin yksinkertaisia, vaikka ne pyrittäisiin sieventämään mahdollisimman pitkälle. Helpointa lienee laskea vektoritulot numeerisesti jollain laskentaohjelmalla.

Tulokseksi saadaan a = 51.1778...o ~~ 51o.

Piilota ratkaisu