Hiekkakasa

Kuljetinhihnalla siirretään hiekkaa kasaan: Hiekka valuu vakionopeudella v kuutiometriä minuutissa hihnan päästä alapuolelle muodostuvaan suoran ympyräkartion muotoiseen kasaan. Hiekan ominaisuuksista aiheutuu, että kartion sivuviivan ja vaakasuoran alustan välinen kulma pysyy vakiona a. Laske kartion korkeuden kasvunopeus korkeuden funktiona.

Ratkaisu

Kartion tilavuus ajan funktiona on

V (t) = 1 3-pr(t)2h(t),

missä r(t) on pohjan säde ja h(t) kartion korkeus ajan funktiona. Koska kartion sivuviivan kaltevuus on vakio a, on h(t) = r(t)tan a ja siis

V (t) = p -----2-- 3 tan ah(t)3.

Tämän derivointi ajan t suhteen antaa

V '(t) = ---p-- tan2 ah(t)2h'(t),

missä on myös käytetty yhdistetyn funktion derivointisääntöä. Ottamalla huomioon, että V '(t) on vakio (= v) ja ratkaisemalla h'(t) saadaan vastaus

h'(t) = 2 vtan--a- ph(t)2 m/s.

Piilota ratkaisu