Hyönteiset

Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1994

Terraariossa elää kaksi hyönteislajia, joilla kummallakin sukupolven ikä on yksi vuorokausi. Hyönteisten elinkaari on sellainen, että aamulla aikuiset kuoriutuvat koteloista ja munivat pian, puoleenpäivään mennessä toukat syntyvät, ja illalla toukat koteloituvat ja aikuiset kuolevat. Kummankin lajin aikuisten lukumäärät vaihtelevat kolmen päivän jaksoissa seuraavasti:

laji1. päivä2. päivä3. päivä
A 112 133 91
B 35 49 28

Neljäntenä päivänä lukumäärät ovat samat kuin ensimmäisenä, viidentenä samat kuin toisena jne. On luonnollista olettaa, että syntyvien toukkien lukumäärä on suoraan verrannollinen lajin aikuisten määrään. Lisäksi tiedetään, että B-lajin aikuiset syövät A-lajin toukkia. Tällöin (kun tarkastellaan A- ja B-lajin aikuisten lukumääriä An ja Bn eri sukupolvissa n) voidaan ajatella, että peräkkäisissä sukupolvissa A-lajin aikuisten lukumäärät noudattavat mallia

An+1 = aAn + bBn (n = 1, 2, . . . ).

Toteuttaako havaintoaineisto mallin, ts. voidaanko vakiot a ja b valita siten, että malli on yhteensopiva havaintoaineiston kanssa? Minkä tiedon vakio b sisältää? Voidaanko B-lajin aikuisten lukumäärien vaihtelua selittää vastaavasti mallilla

Bn+1 = cBn + dAn?

Ratkaisu

Sijoittamalla havaintoarvot malliin (1) An+1 = aAn + bBn saadaan yhtälöryhmä

{ 112a + 35b = 133 133a + 49b = 91 91a + 28b = 112

Kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä saadaan vakioiksi a = 4 ja b = -9. Kolmas yhtälö toteutuu, kun nämä sijoitetaan siihen. Johtopäätös on, että malli (1) on yhteensopiva havaintoaineiston kanssa. Vakio b = -9 merkitsee, että kukin B-lajin aikuinen syö (keskimäärin) 9 A-lajin toukkaa.

Sijoittamalla havaintoarvot malliin (2) Bn+1 = cBn + dAn saadaan yhtälöryhmä

{ 35c + 112d = 49 49c + 133d = 28 28c + 91d = 35

Kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä c = -69 17 ja d = 29 17. Sijoitus kolmanteen yhtälöön antaa ristiriidan 707 17 = 35. Malli (2) ei siten ole yhteensopiva havaintojen kanssa.

Piilota ratkaisu