Kolmet kärryt perille

Kolme poikaa on saanut tehtäväksi työntää kahdet samanlaiset kärryt 2 km matkan. Kunkin pojan kävelynopeus ilman kärryä on 7 km/h ja kärryä työntäen 3 km/h. Kaksi poikaa yhdessä työntää yhtä kärryä nopeudella 6 km/h. Määritä lyhin aika, jossa pojat voivat yllämainittuja nopeuksia käyttäen selviytyä tehtävästä, kun enintään kaksi poikaa yhdessä työntää yhtä kärryä eikä kukaan työnnä kahta kärryä yhtä aikaa.

Ratkaisu

Olkoot pojat A, B ja C. A työntää kärryä 1 koko matkan. B työntää kärryä 2 koko matkan. C työntää kärryä 1 kohtaan x asti ja palaa sen jälkeen auttamaan poikaa B kärryn 2 työntämisessä.

Kärryn 1 kuljetusaika t1(x):

A ja C työntävät yhdessä matkan x, jonka jälkeen A jatkaa yksin loppumatkan 2 - x.

t1(x) = x -- 6 + 2- x ------ 3 = -1 -- 6x + 2 -- 3

Kärryn 2 kuljetusaika t2(x):

Ajassa x 6 poika B on edennyt matkan x 6 . 3 = x 2, joten poikien B ja C välimatka pojan C lähtiessä paluumatkalle on x - x 2 = x 2. B etenee nopeudella 3 km/h ja C nopeudella 7 km/h, joten he kohtaavat ajan x- 20 kuluttua. Poika B on siis ehtinyt yksinään työntää kärryä ajan x 6 + x 20 = 13 60-x. Pojat työntävät yhdessä loppumatkan 2 - 1360x . 3 = 2 - 1230x.

t2(x) = 13 --- 60x + 2- 1230x -------- 6 = 13 ---- 120x + 1 -- 3

Tehtävänä on siis etsiä minimi funktiolle

f(x) = max {t1(x), t2(x)},

missä 0 < x < 2.
PICT
Funktion f minimi saadaan yhtälöstä

-1 -- 6x + 2 -- 3 = 13 ---- 120x + 1 -- 3.

Minimi on kohdassa x = 40 33. Lyhin aika, joka kuluu kärryjen työntämiseen perille on t1 (40 33) = 46 99 eli 27 minuuttia ja 53 sekuntia.

Piilota ratkaisu