Lokasuojaton maastopyörä 1

Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1999

Polkupyöräilijä, joka ajaa lokasuojattomalla maastopyörällä märkää vaakasuoraa tietä pitkin, voi likaantua selästään takapyörän heittämän kuran johdosta. Tarkastelemme ongelmaa pyörän mukana liikkuvassa (x, y)-kordinaatistossa, jonka x-akseli osoittaa ajosuuntaan. Olkoon v ajonopeus (vakio) ja R takapyörän säde. Newtonin liikelakien mukaan takapyörästä hetkellä t = 0 irtoavan kurapisaran lentoradan pisteet (x, y) = (x(t), y(t)), t > 0 (ajan t yksikkö s), toteuttavat ehdot

{ x(t) = - R sin a + vt cosa 1 2 y(t) = R cos a + vtsina - 2gt

missä g on vakio 9.8 m/s2 ja a kulma joka ilmoittaa kurapisaran satunnaisesti vaihtelevan irtoamiskohdan.

Merkitsemme a = gR/v2 ja p = cos a. Näytä, että jos 0 < p < 1, niin kurapisaran lentorata kulkee pisteen (0, H) kautta, missä

H = R[1- 2a + p-1 - 1- 2ap-2].

Ratkaisu

On näytettävä, että jos x(t) = 0, niin y(t) = H.
Jos x(t) = 0, niin t = Rsina- vcosa ; sijoittamalla tämä sekä tehtävässä annetut a ja p saadaan

y(t) = Rcos a + vtsin a - 1 -- 2gt2 = . . . = R(a -- 2 + 1 -- p - a ---- 2p2) = H. []

Piilota ratkaisu