Lokasuojaton maastopyörä 2

Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1999

Polkupyöräilijä, joka ajaa lokasuojattomalla maastopyörällä märkää vaakasuoraa tietä pitkin, voi likaantua selästään takapyörän heittämän kuran johdosta. Tarkastelemme ongelmaa pyörän mukana liikkuvassa (x, y)-kordinaatistossa, jonka x-akseli osoittaa ajosuuntaan. Olkoon v ajonopeus (vakio) ja R takapyörän säde. Newtonin liikelakien mukaan takapyörästä hetkellä t = 0 irtoavan kurapisaran lentoradan pisteet (x, y) = (x(t), y(t)), t > 0 (ajan t yksikkö s), toteuttavat ehdot

{ x(t) = - R sin a + vt cosa 1 2 y(t) = R cos a + vtsina - 2gt

missä g on vakio 9.8 m/s2 ja a kulma joka ilmoittaa kurapisaran satunnaisesti vaihtelevan irtoamiskohdan.

Tehtävässä Lokasuojaton maastopyörä 1 todettiin, että jos 0 < p < 1, niin kurapisaran lentorata kulkee pisteen (0, H) kautta, missä

H = R[1- 2a + p-1 - 1- 2ap-2].

Oletamme, että pyöräilijän selän kuraantumiselle piste P = (0, 1.9R) on kriittinen, eli oletanmme, että pyöräilijään osuvat vain ne kurapisarat, joiden lentorata ylittää pisteen P . Mikä saa nopeus v enintään olla, jotta pyöräilijä välttyisi kuraantumiselta, kun R = 0.33 m? (Vastaus yhden desimaalin tarkkuudella yksiköissä km/h)

Ratkaisu

On määritettävä suurin nopeus v (tai vastaavasti pienin vakion a arvo), jolla H < 1.9R kaikilla kulmilla a (eli kaikilla suureen p arvoilla, 0 < p < 1).

Jos nopeus v on annettu, lausekkeen H = R(a2 + 1p - 2ap2) suurin arvo p:n suhteen saadaan derivoimalla:

dH-- dp = R-- p2(a- p - 1) = 0 ==> p = a.

Helposti nähdään, että tämä on todella maksimikohta (paitsi jos a > 1, mutta tällöin on pmax = 1 ja vastaava H:n arvo on H = R jolloin varmasti pätee H < 1.9R). Siis (tietyllä nopeudella v) suurin H:n arvo saadaan sijoittamalla p = a:

Hmax = R -- 2(a + 1 -- a).

Saadaan (olettaen a < 1)

Hmax < 1.9R <==> 1 -- 2(a + 1 -- a) < 1.9 <==> a > 1.9 - V~ -------- 1.92- 1 = 0.2845

eli

v < V~ ------- -0.33g- 0.2845 = 3.37(m/s) eli v < 12.1 km/h.

Piilota ratkaisu