Odotusarvo noppapelissä

Syksyn pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1984

X pelaa noppapeliä, jonka säännöt ovat seuraavat: Noppaa heitetään 10 kertaa. Jos ainakin yhdellä heitolla tulee ykkönen, X joutuu maksamaan 2000 markkaa. Muussa tapauksessa X voittaa 10000 markkaa. Mikä on X:n voiton odotusarvo?

Ratkaisu

Merkitään

A = ”nopan silmäluku muu kuin 1”
A = ”nopan silmäluku on 1”.

Tällöin P (A) = 5 6.

Tämän perusteella saadaan

P (10 heiton sarjassa ei esiinny yhtään ykköstä) = P (A)10

ja komplementtitapahtuman todennäköisyydeksi

P (10 heiton sarjassa esiintyy ainakin yksi ykkönen)
= 1 - P (10 heiton sarjassa ei esiinny yhtään ykköstä)
= 1 - P (A)10 .

Tämän perusteella voidaan laskea odotusarvo

E(x) = P (A)10 . 10000 + (1 - P (A)10) . (-2000) ~~ -62 (mk).

Piilota ratkaisu