Palokunnan probleema

Kevään pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1986

Erään kartan koordinaatistossa paloasema sijaitsee pisteessä A = (-1, 0), ja veden ottoon käytettävissä olevaa joen osaa kuvaa yhtälö y = V~ ------- 1 - x2 (-1 < x < 1). Tulipalon sattuessa pisteessä B = (12, 0) paloauto kiitää nopeudella 100 km/h suoraan joen kohtaan X, jossa auton vesisäiliö täytetään. Tämän jälkeen auto jatkaa matkaansa suoraan kohti palopaikkaa nopeudella 45 km/h. Miten piste X on valittava, jotta paloauto vesisäiliö täytettynä ehtisi palopaikalle mahdollisimman lyhyessä ajassa?

Ratkaisu

Merkitään

matka joelle=s1
matka joelta palopaikalle=s2
nopeus matkalla joelle=v1=100 km/h
nopeus matkalla palopaikalle=v2=45 km/h
aika matkalla joelle=t1
aika matkalla palopaikalle=t2

PICT
Matkat s1 ja s2 voidaan määrittää pisteiden (-1, 0) ja (x0, 1 - x2 0) vastaavasti em. pisteen sekä pisteen (1 2, 0) välisinä etäisyyksinä:

s1 = V~ ------------ 2 V~ -----2-2 (x+1)+ ( 1- x )= V~ ------ 2x + 2
s2 = V~ ------------ (x-1)2+ ( V~ 1---x2)2 2= V~ ------ 5 - x 4.

Tutkittava funktio on

t(x) = s1 v1 + s2 v2 (-1 < x < 1) ,

jonka paikalliset ääriarvot voivat löytyä derivaatan nollakohdista ja välin päätepisteistä, koska kyseessä on jatkuva funktio suljetulla välillä.

Funktion derivaatan lauseke on

t'(x)=1 100 V~ 2x+-2 + 1- 45 V~ ------ 5 - x 4
=1 V~ ---- 1002x+ 2 - -- V~ -1---- 90 5 - x 4
= V~ - ------- 905-x - 100V ~ 2x + 2 4 V~ ----------------- 9000 5- x V~ 2x-+-2- 4

Kun merkitään yhtälöksi f'(x) = 0, saadaan lopulta yhtälöksi

90 V~ 5 4-x=100 V~ ------- 2x + 2
8100(5 4 - x)=10000(2x + 2)
x=-395 ----- 1124.

Funktion pienin arvo löytyy seuraavista ehdokkaista:

t(-395 1124) ~~ 0.0395
t(-1) ~~ 0.0333
t(1) ~~ 0.0311

Joten pienin arvo tulee, kun x = 1. Toisin sanoen paloauto lähtee joen rannalla sijaitsevalta paloasemalta tyhjänä ja ajaa 100 km/h palopaikan ohi kohti joen rannan kohtaa, joka on kauimpana paloasemasta, täyttää tankkinsa ja köröttelee 45 km/h takaisin palopaikalle. Tämä on nopein tapa saada sammutusvesi palopaikalle paloaseman paloautolla.

Piilota ratkaisu