Portti

Kolmen metrin levyinen portti suljetaan riippuvalla ketjulla, joka kiinnitetään portin pylväisiin 1.2 metrin korkeudelle. Vaatimuksena on, että keskikohdalla ketjun tulee olla 20 cm korkeudella maasta. Mikä on tarvittavan ketjun pituus? Tiedetään, että päistä ripustettu vapaasti riippuva ketju ottaa ns. ketjukäyrän y = ccosh (x/c) muodon; vakio c vaikuttaa ketjun muotoon. Käyrän y = f(x), x [a, b], pituus voidaan laskea integraalista

integral b

a V~ ----------
1 + f '(x)2 dx.

Ratkaisu

Ketjun päistä saadaan ehto ccosh (1.5/c) + d = 1.2 ja keskikohdasta c + d = 0.2. Eliminoimalla näistä d päädytään yhtälöön ccosh (1.5/c) - c = 1.

Tämä on transkendenttiyhtälö, joka täytyy ratkaista numeerisesti. Tuloksena on c 1.2635, jolloin d -1.0635.

Ketjun pituus saadaan integroimalla:

integral a

-a V~ ----------
1 + f'(x)2 dx = V~ --------------
1 + sinh2(x/c) dx = 2csinh (a/c).

Sijoittamalla a = 1.5 ja c = 1.2635 saadaan ketjun pituudeksi 3.756 metriä.

Piilota ratkaisu