Superpallo
Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1994
Superpallo, joka pudotetaan
lattialle, pomppii koskettaen lattiaa ajanhetkinä ti(i = 1, 2, . . . ). Jos hetkellä
ti(i = 1, 2, . . . ) pallon törmäysnopeus lattiaan on v ja kimmahdusnopeus lattiasta v,
voidaan olettaa (kun ilmanvastus jätetään ottamatta huomioon), että v = v
ja että ti+1 - ti = kv, missä k on vakio. Laske, kuinka kauan pallo pomppii
ajanhetken t1 jälkeen, kun jokaisessa lattiaan törmäyksessä pallo menettää 5 %
liike-energiastaan ja kun ensimmäinen pomppu kestää ajan t2 - t1 = 0.6 s. Ilmoita vastaus
sekunteina yhden desimaalin tarkkuudella. (Liike-energian kaava on E = mv2.)
Ratkaisu
Pallolla on liike-energiaa (törmäyksen jälkeen)
1. pompussa | m(v)2, |
2. pompussa | m(v)2 = 0.95 . m(v)2 = 0.95 . m(v)2, |
| |
n. pompussa | m(v)2 = (0.95)n-1 . m(v)2, |
|
joten yleisesti
v = v()n-1, n = 1, 2, . . .
Koska 1. pomppuun kuluu aika t2 - t1 = kv = 0.6, saadaan n. pomppuun kuluvaksi
ajaksi
tn+1 - tn = kv = kv()n-1 = 0.6()n-1.
Tällöin kokonaisaika (päättymättömän suppenevan geometrisen sarjan summana)
on
0.6 + 0.6 + 0.6()2 + . . . = 23.7s.