Tienmutkan jyrkkyys

Oletetaan, että maantiessä oleva mutka on peruskartalla käyrän

y = --x----
1-  x2, -1 < x < 1,

muotoinen, yksikkönä senttimetri. Tien kaarevuussäde kohdassa x voidaan laskea lausekkeesta

R(x) =       '2 3/2
(1-+-y--)--
     y''.

Peruskartan mittakaava on 1:20 000. Mikä on kaarevuussäteen pienin arvo, ts. arvo siinä kohdassa, missä tie kaartuu jyrkimmin?


Ratkaisu

Mekaaninen derivointi ja sievennys antavat kaarevuussäteelle lausekkeen

R(x) = 2 - 2x2 + 7x4 - 4x6 + x8)3/2
---------2-----------23-----
    2x(x  + 3)(1 - x ).

Tämä saa negatiivisia arvoja välillä -1 < x < 0 ja positiivisia välillä 0 < x < 1, mikä johtuu tien kaartumisesta näillä alueilla eri suuntiin. Kuvaajan piirtäminen osoittaa, että origon oikealla puolella kaarevuusäteellä on minimiarvo ja symmetrisesti vasemmalla puolella negatiivinen maksimiarvo, ts. kaarevuusäteen itseisarvon minimi.

Derivaatta R'(x) saa suheellisen monimutkaisen lausekkeen, mutta sen nollakohdat saadaan tekijän

2 - 8x2 - 33x4 + 22x6 - 18x8 + 2x10 + x12

nollakohdista. Näistä vain kaksi osuu välille ] - 1, 1[, nimittäin x = 0.396602. Yhtälön tarkka ratkaisu ei onnistu, joten on sovellettava jotakin numeerista menettelyä. (Neljättä astetta korkeammille polynomiyhtälöille ei ole olemassa yleisiä ratkaisukaavoja.) Numeerisessa menettelyssä mahdollisesti tarvittavan alkuapproksimaation saa helpoimmin piirtämällä polynomin kuvaajan välillä ] - 1, 1[.

Nollakohtia vastaava kaarevuusäteen itseisarvon minimiarvo on 1.67027, mikä vastaa 334 metrin todellista kaarevuusädettä, kun kartan mittakaava otetaan huomioon.

Piilota ratkaisu