Vesikourun suunnittelu

Kevään pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1990

Vesikourun poikkileikkaus A on alla olevan kuvion mukainen. Virtausvastuksen pienentämiseksi a + 2b pyritään saamaan mahdollisimman pieneksi. Määritä vastaavat a ja b millimetrin tarkkuudella.
PICT

Ratkaisu

Kuviossa annettujen tietojen perusteellla puolisuunnikkaan korkeus on b-- V~ 2, sillä puolisuunnikkaaseen voidaan muodostaa tasakylkiset suorakulmaiset kolmiot, joiden terävät kulmat ovat 45o ja hypotenuusa b.
PICT
Tämän perusteella puolisuunnikkaan yhdensuuntaiset sivut ovat a ja a + 2 . b V~ -- 2 sekä korkeus b V~ 2, joten pinta-alaehdon perusteella saadaan yhtälö

a + (a + 2 .b V~ --) -------------2- 2 .  b V~ -- 2 = 15.

Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista esimerkiksi a:

a = V~ -- 15 2 ------ b - V~ -- b 2 ---- 2 (1).

Optimoitava lauseke voidaan palauttaa yhtälön (1) avulla yhden muuttujan lausekkeeksi, jota merkitään jatkossa f(b), seuraavasti

a + 2b = V~ -- 15--2- b - V~ -- b--2 2 + 2b = V~ -- 15--2- b + (2 - V~ -- --2- 2)b,

missä b (- ]0, V~ -- 30[.

Pienimmään arvon löytämiseksi tutkitaan funktion f derivaatan nollakohtia:

f'(b) = V~ -- - 15 2 ---b2--- + 2 - V~ -- 2 -2-- = V~ V~ -- b2(2- 22)- 15 2 --------b2--------- (2),

joka on yhtä suuri kuin nolla, kun

b = + (-) --- V~ -- V~ 15--2-- V~ 2 2- 2 ~~ 4.0506 dm.

Kyseessä on minikohta, sillä lausekkeen (2) osoittaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka huippu löytyy derivaatan nollakohdasta. Nimittäjä on tarkasteluvälillä positiivinen.

Lausekkeesta (1) voidaan laskea a ~~ 2.3728 dm.

Piilota ratkaisu