12 Abstraktia algebraa

12.1 Ryhmä, rengas ja kunta

Tehtävä 502

Määritellään joukon A = {a, b, c} alkioiden laskutoimitus o seuraavalla taulukolla:

	a	b	c


a	a	b	c

b	b	c	a

c	c	a	b

Osoita, että (A, o) on Abelin ryhmä.

Tehtävä 503

Totea, että jos laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen, niin tason E² tai avaruuden E³ translaatiot muodostavat Abelin ryhmän.

Tehtävä 504

Tutki, muodostavatko a) tason E², b) avaruuden E³ origokeskiset kierrot ryhmän, kun laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Onko kyseessä Abelin ryhmä?

Tehtävä 505

Olkoon (A, +, o) kunta ja olkoot a, b

A tunnettuja alkioita, a

0. Osoita, että yhtälöllä aox = b on täsmälleen yksi ratkaisu x

Tehtävä 506

Totea esimerkiksi neliömatriiseja tarkastelemalla, että edellisen tehtävän yhtälöllä voi olla useita ratkaisuja tai ei ratkaisua lainkaan, jos (A, +, o) oletetaan vain renkaaksi.

12.2 Lineaariavaruus

Tehtävä 507

Joukon

² laskutoimitukset määritellään tavallisuudesta poikkeavalla tavalla:

(x₁ , y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + y₂, x₂ + y₁), (x, y) = (x, y) ( ).

Mitkä lineaariavaruuden aksioomat ovat tällöin voimassa?

Tehtävä 508

Avaruuden

² osajoukossa E = { (x, y) | x + y = 2 } määritellään laskutoimitukset seuraavasti:

	(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂ - 1, y₁ + y₂ - 1),
	(x, y) = (x + 1 - , y + 1 - ) ( ).

Osoita, että E on lineaariavaruus. Mikä on laskutoimitusten määrittelyn geometrinen sisältö?

Tehtävä 509

Ratkaise edellisen tehtävän joukossa E yhtälö (2, 0) + 7(x, y) = (-6, 8).

Vastaus

Tehtävä 510

Olkoot a ja b reaalisen lineaariavaruuden E tunnettuja alkioita, olkoon x

E tuntematon. Olkoon

. Todista lineaariavaruuden aksioomiin perustuen, että yhtälöllä

x + a = b on täsmälleen yksi ratkaisu. Mitä aksioomia tällöin tarvitaan?

Tehtävä 511

Osoita, että enintään astetta n olevat polynomit muodostavat lineaariavaruuden. Muodostavatko täsmälleen astetta n olevat polynomit lineaariavaruuden?

Tehtävä 512

Tutki, ovatko enintään toista astetta olevien polynomien muodostamaan lineaariavaruuteen kuuluvat polynomit p₁(t) = 1 - t, p₂(t) = t(1 - t), p₃(t) = 1 - t² lineaarisesti riippumattomia.

Vastaus

Tehtävä 513

Osoita, että enintään astetta n olevien polynomien muodostaman lineaariavaruuden dimensio on n + 1.

Tehtävä 514

Korkeintaan 1. astetta olevien reaalikertoimsten polynomien p(t) = at + b joukossa määritellään laskutoimitukset seuraavasti:

	(p₁ + p₂)(t) = (a₁ + a₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)t,
	(p)(t) = bt.

Mitkä lineaariavaruuden aksioomat ovat voimassa?

12.3 Ekvivalenssirelaatio

Tehtävä 515

Luonnollisten lukujen p ja q välille määritellään relaatio R asettamalla

p R q <== ==> p on luvun q tekijä.

Tutki, onko relaatio a) refleksiivinen, b) symmetrinen, c) transitiivinen. Onko kyseessä ekvivalenssirelaatio?

Tehtävä 516

Tason suorien joukossa määritellään relaatio R asettamalla

s₁ R s₂ <== ==> suorilla s₁ ja s₂ on yhteinen piste.

Tutki, onko relaatio a) refleksiivinen, b) symmetrinen, c) transitiivinen. Onko kyseessä ekvivalenssirelaatio?

Tehtävä 517

Joukon A relaatiota R sanotaan järjestysrelaatioksi, jos se on transitiivinen ja jos täsmälleen yksi ehdoista xRy, yRx ja x = y on voimassa mille tahansa alkioparille (x, y)

A × A. Päättele, että relaatio < (x < y <==

x on pienempi kuin y) on järjestysrelaatio joukossa

Tehtävä 518

Olkoon P universumin U kaikkien osajoukkojen muodostama joukko. Tutki, ovatko joukko-opilliset osajoukkorelaatiot

a) transitiivisia, b) järjestysrelaatioita joukossa P.

Tehtävä 519

Reaalilukuparien välille määritellään relaatio R seuraavasti:

(x₁, y₁) R (x₂, y₂) <== ==> x₁ < x₂ $/\$ y₁ < y₂.

Onko kyseesä järjestysrelaatio?