3 Lineaariset differentiaaliyhtälöt

3.1 Lineaariyhtälöiden teoriaa

Tehtävä 99

Onko differentiaaliyhtälö y'' + x(y' - y'') = y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen?

---

Tehtävä 100

Olkoot funktiot f(x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia välillä I ja olkoon tällä välillä f(x) 0. Etsi ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, jonka yleinen ratkaisu on y = Cf(x) + g(x).

Vastaus

---

Tehtävä 101

Olkoon y₁(x) = x² ja y₂(x) = x|x|. Osoita, että funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia ja että niiden Wronskin determinantti on = 0. Onko mahdollista muodostaa toisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisuja em. funktiot ovat?

Vastaus

---

Tehtävä 102

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön

(x² + x)y''' + (2 - x²)y'' - (2 + x)y' = 0

ratkaisuja. Mikä on yhtälön yleinen ratkaisu?

Vastaus

---

Tehtävä 103

Osoita, että differentiaaliyhtälöllä

x(3 + x)y''' + (12 - x²)y'' - 3(4 + x)y' = 0

on ratkaisuina y = e^x ja y = 1/x². Mikä on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu?

Vastaus

---

Tehtävä 104

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälöä

(x² + x)y''' + (2 - x²)y'' - (2 + x)y' = 2(1 - x - x²)

vastaavan homogeeniyhtälön ratkaisuja. Totea, että epähomogeenisella yhtälöllä on ratkaisuna eräs toisen asteen polynomi. Mikä on yhtälön yleinen ratkaisu?

---

Tehtävä 105

Määritä laskentaohjelmalla Besselin differentiaaliyhtälön x² y'' + xy' + (x² - n²)y = 0 yleinen ratkaisu. Tässä n on parametri, joka voi saada minkä tahansa reaaliarvon. Kokeile ensin symbolilla n, ja anna sille tämän jälkeen kokonaislukuarvoja ja yksinkertaisia murtolukuarvoja. Ratkaisut ovat muotoa C₁ y₁ (x) + C₂ y₂(x). Miten funktiot y₁ ja y₂ suhtautuvat toisiinsa parametrin n eri arvoilla? Millaisia ominaisuuksia niillä on? Rajoitu tarkastelemaan arvoja x > 0.

---

Tehtävä 106

Tutki, millaisia kohdassa x = 0 annettuja alkuehtoja arvoa n = 1 vastaavaan Besselin differentiaaliyhtälöön x²y'' + xy' + (x² - 1)y = 0 voidaan liittää. Mikä on tilanne, jos ehdot annetaan kohdassa x = 1?

---

Tehtävä 107

Muodosta toisen kertaluvun homogeeninen lineaarinen differentiaaliyhtälö, jolla on yksityisratkaisuina kahdesti derivoituvat funktiot y₁(x) ja y₂(x), joiden Wronskin determinantti on 0.

Vastaus

---

Tehtävä 108

Lineaarisella homogeenisella toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöllä on yksityisratkaisuina y₁(x) = x ja y₂(x) = cos x. Muodosta yhtälö ja määritä sen ratkaisuista se, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = x + 1 origossa.

Vastaus

---

Tehtävä 109

Olkoon funktio P (x) derivoituva. Tee differentiaaliyhtälöön y'' + P (x)y' + Q(x)y = 0 sijoitus

y(x) = u(x)e^{-P(x) dx}

ja saata se muotoon u'' + I(x)u = 0. Millainen funktio on I(x)?

Vastaus

---

Tehtävä 110

Olkoon funktio P (x) jatkuva. Kerro differentiaaliyhtälö y'' + P (x)y' + Q(x)y = 0 funktiolla

p(x) = e^{P(x) dx}

ja saata tulos muotoon

+ q(x)y = 0.

Millainen funktio on q(x)?

Vastaus

---

Tehtävä 111

Olkoon y₁(x) yhtälön

+ q₁(x)y = 0

ei-triviaali (/ 0) ratkaisu ja y₂(x) yhtälön

+ q₂(x)y = 0

nollasta eroava (0 x) ratkaisu. Todista Piconen identtisyys

= (q₂ - q₁)y + (p₁ - p₂)y₁'² + p₂ ².

---

Tehtävä 112

Nesteeseen upotettu massa m on ripustettu pystysuoraan kierrejouseen, jonka jousivakio on k. Massa saatetaan pystysuoraan värähdysliikkeeseen antamalla sille alkupoikkeama ja alkunopeus; lisäksi siihen vaikuttaa ajan mukana muuttuva pystysuora ulkoinen voima F (t). Neste vastustaa liikettä nopeuteen verrannollisella voimalla (verrannollisuuskerroin = c). Johda systeemiä kuvaava differentiaaliyhtälö.

---

Tehtävä 113

Tutki edellisen tehtävän differentiaaliyhtälöä numeerisesti. Aseta ulkoinen voima jaksolliseksi: F (t) = F₀ cos t. Valitse yhtälössä oleviksi vakioiksi esimerkiksi m = 1, k = 5, c = 2, F₀ = 1, = 1. Tutki systeemin käyttäytymistä ajan funktiona. Mitä mahdetaan tarkoittaa ratkaisun transientilla komponentilla ja tasapainotilaratkaisulla (steady state solution)?

---

Tehtävä 114

Muuta edellisen tehtävän systeemin parametreja siten, että se kuvaa tilannetta, missä neste ei vastusta liikettä. Etsi joko kokeellisesti tai laskemalla sellainen voiman F (t) taajuus , että systeemi on resonanssissa; tällöin heilahtelun amplitudi kasvaa rajatta. Miten systeemi käyttäytyy em. resonanssikohdan lähellä?

---

Tehtävä 115

Tutki, voidaanko edellisen tehtävän mukaiseen rajatta kasvavaan amplitudiin (ja siis systeemin rikki räjähtämiseen) joutua, jos neste vastustaa liikettä.

---

3.2 Homogeenisen yhtälön ratkaiseminen

Tehtävä 116

Yhtälöllä

y' + P (x)y = (x + 1)²e^x

on ratkaisuna y = (x² - 1)e^x. Määritä P (x) ja yhtälön yleinen ratkaisu. Etsi alkuehdon y(0) = 5 toteuttava yksityisratkaisu.

Vastaus

---

Tehtävä 117

Funktiot y₁(x) ja y₂(x) ovat yhtälön y' + a(x)y = 0 ratkaisuja, vastaavasti y₁ (x) + e^x ja y₂(x) - 1 yhtälön y' + a(x)y + b(x) = 0 ratkaisuja. Määritä se jälkimmäisen yhtälön ratkaisu, jonka kuvaaja kulkee origon kautta.

Vastaus

---

Tehtävä 118

Määritä seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut, kun eräs yksityisratkaisu tai sen muoto on annettu:

	a) xy'' - (x + 3)y' + y = 0,   polynomi,
	b) x2(ln x - 1)y'' - xy' + y = 0,   polynomi,
	c) (x2 - 2x - 1)y'' - 2(x - 1)y' + 2y = 0,   polynomi,
	d) y'' + (tan x - 2 cot x)y' + 2(cot 2x)y = 0,   sin x,
	e) y'' + 2(1 - tan 2x)y = 0,   cos 2x,
	f) (x - 2)y'' - (4x - 7)y' + (4x - 6)y = 0,   ekx.

Vastaus

---

Tehtävä 119

Mikä yksinkertainen alkeisfunktio on differentiaaliyhtälön y'' + P (x)y' + Q(x)y = 0 ratkaisuna, jos 1 + P (x) + Q(x) 0? Ratkaise tämän nojalla yhtälöt

	a) (x - 1)y'' - xy' + y = 0,
	b) (2x - x2)y'' + (x2 - 2)y' + (2 - 2x)y = 0,
	c) y'' - 2 y' + y = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 120

Etsi jollakin symbolisella ohjelmalla Airyn differentiaaliyhtälön y'' - xy = 0 yleinen ratkaisu. Etsi yksityisratkaisut, kun alkuehtona on a) y(0) = 0, y'(0) = 1, b) y(0) = 1, y' (0) = 0. Piirrä ratkaisujen kuvaajat samaan kuvioon. Tarkastele erityisesti negatiivisia muuttujan arvoja. Miten ratkaisufunktioiden nollakohdat näyttävät suhtautuvan toisiinsa?

---

3.3 Täydellisen yhtälön ratkaiseminen

Tehtävä 121

Ratkaise yhtälöt

a) y' + 2xy = 2xe^-x2 ,   b) (1 + x²)y' - 2xy = (1 + x²)²,   c) y' sin x - y = 1 - cos x.

Vastaus

---

Tehtävä 122

Ratkaise seuraavat alkuarvoprobleemat:

	a) xy' + 2y = x3,  y(1) = 1,
	b) y' + y cos x = sin x cos x,  y(0) = 1,
	c) y' + y = x,  y(0) = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 123

Ratkaise alkuarvoprobleema

y' + y cot x = e^{cos x},     y() = 1.

Piirrä ratkaisukäyrä.

---

Tehtävä 124

Määritä se kaikilla muuttujan x arvoilla jatkuva funktio y(x), joka toteuttaa integraaliyhtälön

2ty(t) dt = x² + y(x).

Vastaus

---

Tehtävä 125

Funktio q(x) olkoon kaikilla arvoilla x jatkuva ja toteuttakoon epäyhtälön q(x) < x² . Olkoon y(x) yhtälön y' + 3x²y = q(x) ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdon y(0) = 0. Mitä arvoja y(-1) voi saada?

Vastaus

---

Tehtävä 126

Etsi ne käyrät, joilla x-akselin, käyrän pisteeseen osoittavan paikkavektorin ja tähän pisteeseen asetetun tangentin muodostaman kolmion ala on = a (vakio).

Vastaus

---

Tehtävä 127

Differentiaaliyhtälöllä y'' + y = 0 on yksityisratkaisuina sin x ja cos x. Etsi yleisellä vakioiden varioinnilla differentiaaliyhtälöiden

a) y'' + y = tan x,     b) y'' + y = 2x sin x

yleiset ratkaisut.

Vastaus

---

Tehtävä 128

Ratkaise alkuarvoprobleema y'' + x(y' - y'') = y + 1, y(0) = y'(0) = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 129

Etsi differentiaaliyhtälön y'' + y' tan x = x tan x yleinen ratkaisu.

Vastaus

---

Tehtävä 130

Etsi differentiaaliyhtälön (x - 1)y'' - xy' + y = x - 1 yleinen ratkaisu.

Vastaus

---

Tehtävä 131

Totea, että differentiaaliyhtälöä (x + 1)y'' - xy' - y = (x + 1)² vastaavan homogeeniyhtälön lineaarisesti riippumattomiksi ratkaisuiksi kelpaavat

y₁(x) = e^x,     y₂(x) = e^x dt.

Etsi em. epähomogeenisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu ja alkuehdon y(0) = y' (0) = 0 toteuttava yksityisratkaisu.

Vastaus

---

Tehtävä 132

Olkoon h(x) lineaarista vakiokertoimista differentiaaliyhtälöä y'' + py' + qy = R(x) vastaavan homogeeniyhtälön ratkaisu, joka toteuttaa alkuehdot h(0) = 0, h' (0) = 1. Osoita, että

y(x) = h(x - t)R(t) dt

on epähomogeenisen yhtälön yksityisratkaisu, jolle y(0) = y'(0) = 0. Ratkaise tällä menettelyllä alkuarvoprobleema y'' + y = tan x, y(0) = y'(0) = 0.

---

Tehtävä 133

Bernoulli’n differentiaaliyhtälö on muotoa y' = A(x)y + B(x)y^k. Se voidaan palauttaa lineaariseksi ensimmäisen kertaluvun yhtälöksi sijoituksella z = y^1-k. Ratkaise tällä tavoin seuraavat Bernoulli’n yhtälöt:

	a) xy' + y = x3y2,		b) y' + y = y2(cos x - sin x),
	c) 3y' + y = (1 - 2x)y4,		d) y' + = 4(x2 - x).

Vastaus

---

Tehtävä 134

Riccati’n differentiaaliyhtälö on muotoa y' = A(x) + B(x)y + C(x)y². Jos sen yksityisratkaisu y₀(x) tunnetaan, se voidaan palauttaa Bernoulli’n yhtälöksi sijoituksella y = y₀ + z. Ratkaise tällä tavoin seuraavat Riccati’n yhtälöt, joiden yksityisratkaisun muoto tunnetaan:

	a) y' = 1 + x + x2 - (2x + 1)y + y2,   y0(x) = ax + b,
	b) y' = y2 - x2y - (x - 1)2,   y0(x) = ax2 + bx + c,
	c) x2y' + (xy - 2)2 = 0,   y0(x) = .

Vastaus

---

3.4 Vakiokertoimiset yhtälöt

Tehtävä 135

Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut:

a) y' - y = cosh x,   b) y' - y = e^x - sin x.

Vastaus

---

Tehtävä 136

Ratkaise alkuarvoprobleemat

	a) y' + 2y = x3 - x,  y(1) = 1,		b) y' + 3y = x3 + 1,  y(1) = 2,
	c) y' + y = sinh x,  y(0) = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 137

Osoita, että sillä yhtälön y' = x + |y| ratkaisulla, joka toteuttaa alkuehdon y(-2) = 1, on minimi y(ln 2 - 1) = ln 2 - 1.

---

Tehtävä 138

Määritä yhtälön y' = |y - x| yleinen ratkaisu. Piirrä suuntakenttä ja ratkaisukäyriä. Määritä y(1), kun y toteuttaa alkuehdon a) y(-1) = -, b) y(-1) = .

Vastaus

---

Tehtävä 139

Olkoon a0. Yhtälön y' + ay = A sin x ratkaisuista vain yksi on jaksollinen. Määritä tämän amplitudi.

Vastaus

---

Tehtävä 140

Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut:

	a) y'' + 4y' + 5y = 3x - 2,		b) y'' - y' - 2y = 4x,		c) y'' - 7y' + 6y = sin x,
	d) y'' + 4y = sin 3x,		e) y'' + 2y' + 5y = e-x,		f) y'' - 2y' + y = ex + cos x,
	g) y'' + 4y' + 4y = e-2x + sin x,		h) y'' - 4y = xe2x,		i) y'' - 6y' + 9y = e3x/x2.

Vastaus

---

Tehtävä 141

Ratkaise alkuarvotehtävä:

y'' - 2y' + y = sin x,   y(0) = y'(0) = 1.

Vastaus

---

Tehtävä 142

Ratkaise seuraavat alku- tai reuna-arvoprobleemat:

	a) y'' - 4y' + 5y = sin x,   y(0) = 0,  y'(0) = -1,
	b) y'' - 3y' + x2 - 1 = 0,   y(0) = 1,  y'(0) = 0,
	c) y'' - 5y' + 6y = ex,   y(0) = y(1) = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 143

Ratkaise alkuarvoprobleema y'' + 5y' + 6y = x, y(0) = 1, y'(0) = 0.

---

Tehtävä 144

Ratkaise alkuarvoprobleema

y'' + y = 2 sin x,     y() = 1,   y'() = .

---

Tehtävä 145

Ratkaise kaikilla a, b

	a) y'' + ay' = ebx,		b) y'' - a2y = ebx,		c) y'' + a2y = ebx,
	d) y'' + a2y = sin bx,		e) y'' + a2y = x sin bx,		f) y'' + 2y' + (1 + a2)y = ebx.

Vastaus

---

Tehtävä 146

Sovella yleistä vakioiden variointia yhtälön y'' + ay' + by = R(x) yksityisratkaisun etsimiseen, kun a² - 4b on a) > 0, b) = 0, c) < 0.

---

Tehtävä 147

Ratkaise differentiaaliyhtälö y'' + ²y = A sin x + B cos x.

Vastaus

---

Tehtävä 148

Pidetään tunnettuna, että homogeeniyhtälön y'' + ²y = 0 ratkaisut ovat y₁ (x) = sin x, y₂(x) = cos x. Sovella vakioiden variointia yhtälön y'' + ² y = A sin x + B cos x yksityisratkaisun etsimiseen.

---

Tehtävä 149

Laske yhtälön y'' + ay' + by = 0 perusratkaisujen Wronskin determinantti vakioiden a, b kaikilla arvoilla.

Vastaus

---

Tehtävä 150

Määritä ne reaaliset parametrin a arvot, joilla yhtälöillä

y'' + 2ay' - 4y = 0  ja  y'' - 2y' + ay = 0

on yhteinen ei-triviaali ( 0) ratkaisu. Ratkaise yhtälöt näillä parametrin arvoilla.

Vastaus

---

Tehtävä 151

Ratkaise yhtälö

y''' - 2y'' - y' + 2y = e^4x.

Vastaus

---

Tehtävä 152

Ratkaise differentiaaliyhtälö:

y''' - 3y'' + 7y' - 5y = e^x.

Vastaus

---

Tehtävä 153

Ratkaise differentiaaliyhtälöt

	a) y(5) + 2y''' + y' = 0,		b) y(7) + 3y(6) + 3y(5) + y(4) = 0,
	c) y''' + 3y'' - 2y = sin x,		d) y(4) + 3y''' + 3y'' + y' = 2e-2x - 2x.

Vastaus

---

Tehtävä 154

Ratkaise differentiaaliyhtälö

y'''' - 4y''' + 12y'' + 4y' - 13y = 9e^2x + 52x - 3.

Vastaus

---

Tehtävä 155

Ratkaise differentiaaliyhtälö y'''' + 3y''' + 3y'' + y' = 2e^-2x - 2x.

Vastaus

---

Tehtävä 156

Ratkaise alkuarvoprobleemat

	a) y''' - 5y'' + 17y' - 13y = 0,   y(0) = y'(0) = y''(0) = 1,
	b) y''' - ky' = 0,   y(0) = 0,  y'(0) = 1,  y''(0) = 2,
	c) y''' - y'' - y' + y = e2x,   y(0) = y'(0) = y''(0) = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 157

Ratkaise alkuarvoprobleema y''' - 2y'' - y' + 2y = 2x² - 6x + 4, y(0) = 5, y' (0) = -5, y''(0) = 1.

---

Tehtävä 158

Etsi kaikki differentiaaliyhtälön y''' + y'' + 2y' + 2y = 0 jaksolliset ratkaisut.

---

Tehtävä 159

Ratkaise kaikilla arvoilla a differentiaaliyhtälöt

a) y⁽⁴⁾ + a⁴y = x²,   b) y''' - (a + 2)y'' + (2a + 1)y' - ay = x + 1.

Vastaus

---

Tehtävä 160

Muunna Eulerin differentiaaliyhtälö

x²y'' + axy' + by = 0

sijoituksella t = ln |x| vakiokertoimiseksi lineaariyhtälöksi. Sovella tulosta yhtälöön

x²y'' - xy' + y = 0,

ratkaise saatu vakiokertoiminen yhtälö ja muodosta tämän avulla alkuperäisen yhtälön yleinen ratkaisu.

---

Tehtävä 161

Ratkaise differentiaaliyhtälö x²y'' + 3xy' + y = 0 kokeilemalla muotoa y = x^r olevaa yritettä.

---

Tehtävä 162

Etsi differentiaaliyhtälön x²y'' + 5xy' + y = 0 yleinen ratkaisu muotoa y = x^r olevaa yritettä käyttäen. Etsi alkuehtoa y(1) = 1, y'(1) = 2 vastaava yksityisratkaisu.

---

Tehtävä 163

Ratkaise differentiaaliyhtälö x²y'' - 2xy' + 2y = x² sin x yritteellä y = x^r sekä yleisellä vakioiden varioinnilla. Kirjoita yhtälöt, joista saadaan integroimisvakioiden arvot, kun alkuehtona on y() = 1, y'() = 0.

---

Tehtävä 164

Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle x²y'' + xy' - y = 4.

---

Tehtävä 165

Etsi seuraavien differentiaaliyhtälöiden yleiset ratkaisut:

	a) x2 y'' - xy' + y = 0,		b) x2y'' - 9xy' + 21y = 0,		c) x2y'' - 2xy' + 2y = x,
	d) x2 y'' + xy' - y = x2,		e) x2y'' + xy' + y = x3 - 2x,		f) x2y'' - 4xy' + 6y = .

Vastaus

---

Tehtävä 166

Ratkaise kaikilla p, q differentiaaliyhtälö

x²y'' + (2p + 1)xy' + qy = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 167

Ratkaise differentiaaliyhtälöt

a) (x + 1)² y'' + (x + 1)y' + y = x²,   b) (3x + 2)²y'' + 7(3x + 2)y' + 63x - 18 = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 168

Ratkaise alkuarvoprobleema

x³y''' + xy' - y = 0,   y(1) = 1,  y'(1) = 2,  y''(1) = 3.

Vastaus

---

Tehtävä 169

Ratkaise kaikilla arvoilla a differentiaaliyhtälö x³y''' + 2ax²y'' - 4a(xy' - y) = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 170

Ratkaise seuraava differentiaaliyhtälö valitsemalla apumuuttujaksi y' /x:

x²y''' + 2(x² - x)y'' + (x² - 2x + 2)y' = x³.

Vastaus

---

Tehtävä 171

Etsi integro-differentiaaliyhtälön

x²y'(x) + 2y(t) dt = 0

kaikki ratkaisut johtamalla ensin differentiaaliyhtälö funktiolle y.

Vastaus

---

Tehtävä 172

Sähköisen RL-piirin differentiaaliyhtälö on

L + RI = E(t),

missä tuntematin funktio I(t) esittää virtaa, L ja R (induktanssi ja vastus) ovat piirille karakteristisia vakioita ja E(t) on piiriin syötetty jännite. Ratkaise differentiaaliyhtälö tapauksissa a) E(t) = E₀ = vakio, b) E(t) = E₀ sin t. Millainen fysikaalinen tulkinta ratkaisulle voidaan antaa?

Vastaus

---

Tehtävä 173

Olkoot R, L, E ja positiivisia vakioita, I(t) tuntematon funktio. Etsi differentiaaliyhtälölle

L + RI = E sin t

jaksollinen ratkaisu. Mikä on tätä ratkaisua vastaava alkuehto origossa? Mikä on jakson pituus?

---

Tehtävä 174

Pitkin x-akselia liikkuvan massapisteen yhtälö olkoon

m = -kx,

missä muuttuja t on aika, massa m ja k positiivisia vakioita. Määritä x(t) alkuehdolla x(0) = R, x' (0) = 0. Miten pitkän ajan kuluttua massapiste palaa lähtökohtaansa, jos R = 6.36 ^.   10⁶  m ja x''(0) = -9.8 m/s²? Mikä on probleeman fysikaalinen sisältö?

Vastaus

---

Tehtävä 175

Ratkaise yhtälö x''(t) + x'(t) + g = 0, missä ja g ovat positiivisia vakioita. Sovella alkuehtoa x(0) = 0, x'(0) = v₀ ja määritä se muuttujan t arvo, jolla x'(t) = 0. Mikä on probleeman fysikaalinen sisältö?

Vastaus

---