4 Differentiaaliyhtälöryhmät

4.1 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

Tehtävä 176

Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät

a) dx
{--- = y + t
dt
dy-= x + t
dt , b) dy
{ --- = y - z + sin x
dx
dz- = y + z + cosx
dx , c) dy
{ x2---+ z = x2
dx
dz-+ 2y = x
dx .

Vastaus

Tehtävä 177

Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöryhmälle

{
x'= x + y,
' t
y = x- y + e.

Vastaus

Tehtävä 178

Ratkaise alkuarvoprobleemat

	a) , y(0) = 1, z(0) = 2,
	b) , y(0) = 1, z(0) = 0.

Vastaus

Tehtävä 179

Olkoot x ja y muuttujan t funktioita. Ratkaise alkuarvoprobleema

{
x'= y + t2
' 3
y = x - t , x(0) = y(0) = 0.

Vastaus

Tehtävä 180

Ratkaise differentiaaliyhtälösysteemi

{
x'= y + t,
'
y = x + t,

kun alkuehtona on x(1) = y(1) = 2(e - 1). Piirrä ratkaisukäyrät.

Vastaus

Tehtävä 181

Ratkaise kaikilla arvoilla a

yhtälöryhmät

a) dx
{ dt-= ay + 1
dy
---= 2y + ax
dt , b) dx 2
{ -dt + a y = cos at
dy
--- + a2x = sinat
dt .

Vastaus

Tehtävä 182

Etsi differentiaaliyhtälöryhmän x' + y = y' + z = z' + x = 0 yleinen ratkaisu sekä alkuehdon x(0) = y(0) = z(0) = 1 toteuttava yksityisratkaisu.

Tehtävä 183

Olkoot x(t), y(t), z(t) ja u(t) tuntemattomia funktioita. Etsi differentiaaliyhtälöryhmän

'
x = y
{ y'= z
'
z = u
u'= x

yleinen ratkaisu.

Vastaus

Tehtävä 184

Olkoot x(t), y(t) ja z(t) tuntemattomat funktiot. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä

'
{ x = y- z
y'= z- 2x
z'= 2x - y

alkuehdolla x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.

Tehtävä 185

Ratkaise:

= -

= -

Vastaus

Tehtävä 186

Olkoot x(t) ja y(t) tuntemattomat funktiot. Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöryhmälle

{ ''
x - 3x - 4y + 3 = 0
y''+ x + y + 5 = 0 .

Vastaus

Tehtävä 187

Olkoot x(t) ja y(t) tuntemattomat funktiot, m

. Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöryhmälle

{ '' 2
x + 2m y = 0
y''- 2m2x = 0 .

Vastaus

Tehtävä 188

Palauta Jacobi’n differentiaaliyhtälö

dy
---
dx = (a2x + b2y + c2) - y(a3x + b3y + c3)
------------------------------------
(a1x + b1y + c1) - x(a3x + b3y + c3)

d’Alembertin systeemiksi

dxk-
dt = a_kx₁ + b_kx₂ + c_kx₃, k = 1, 2, 3,

asettamalla

x(t) = x1(t)
x--(t)
3 , y(t) = x2(t)
x--(t)
3 .

Vastaus

4.2 Autonomiset ryhmät

Tehtävä 189

Ratkaise autonomiset normaaliryhmät

a) dy
{ ---+ 3y + z = 0
dx
dz-
dx - y + z = 0 , b) dy
{ --- = 3z - y
dx
dz-
dx = z + y .

Ovatko ratkaisujen kuvaajat faasitasossa rajoitettuja?

Vastaus

Tehtävä 190

Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä

du
dx- = v + w + 1
{ dv
--- = w + u + 2
dx
dw-
dx = u + v + 3 .

Vastaus

Tehtävä 191

Olkoot x ja y muuttujan t funktioita, joille pätee

{
x'= y
'
y = - 2x .

Millaisia ovat ratkaisukäyrät faasitasossa? Johda näiden yhtälöt.

Tehtävä 192

Johda välttämätön ja riittävä ehto sille, että differentiaaliyhtälöryhmän

{ '
x = ax + by,
y'= cx + dy

ratkaisussa esiintyy trigonometrisia funktioita. Totea, että ehto bc < 0 on kylläkin välttämätön, mutta ei riittävä.

Vastaus

Tehtävä 193

Heiluri, joka muodostuu painottoman varren (pituus L) päässä olevasta massasta m, saatetaan heilahtelemaan pystysuorassa tasossa. Heilahduskulma olkoon

. Muodosta Newtonin lakien mukainen liikeyhtälö, johda vastaava normaaliryhmä ja totea se autonomiseksi. Muodosta normaaliryhmästä faasitasokäyrien differentiaaliyhtälö ja ratkaise se. Piirrä ratkaisukäyrien kuvaajia.

Vastaus