1 Lukujonot ja vakiotermiset sarjat

1.1 Lukujono

Tehtävä 1

Todista, että lukujono suppenee ja sen raja-arvo on < 2, kun jono määritellään rekursiivisesti

a₀ = 0,     a_k+1 = ,   k = 0, 1, 2, . . . .

Esitä yhtälö, josta raja-arvo voidaan ratkaista.

Vastaus

---

Tehtävä 2

Lukujono määritellään rekursiivisesti

a₁ = 1,     a_k+1 = ,   k = 1, 2, 3, . . . .

Määritä lim_k a_k.

Vastaus

---

Tehtävä 3

Olkoon

f_k(x) = ,   x ,  k .

Määritä lim_kf_k(x) kaikilla x . Piirrä funktioiden f_k kuvaajia. Millainen on raja-arvofunktion kuvaaja?

Vastaus

---

Tehtävä 4

Tutki, suppenevatko seuraavat kompleksiset lukujonot :

a) z_k = ,   b) z_k = ,   c) z_k = .

Vastaus

---

Tehtävä 5

Tutki, suppenevatko seuraavat kompleksitason lukujonot :

a) z_k = ,   b) z_k = + ,   c) z_k = .

Onko jonoilla kasautumispisteitä? Piirrä jonojen pisteitä kompleksitasoon.

Vastaus

---

Tehtävä 6

Olkoon s_k yksikköympyrän sisään piirretyn säännöllisen 2^k-kulmion sivun pituus. Johda rekursiokaava, jossa s_k+1 lausutaan edellisen luvun s_k avulla. Mikä on sopiva alkuarvo täten saatavalle rekursiivisesti määritellylle jonolle?

Vastaus

---

Tehtävä 7

Muodosta edellisen tehtävän jonon avulla lukujono , missä jonon luvut esittävät yksikköympyrän sisään piirretyn 2^k-kulmion piiriä. Laske tämän jonon termejä ja yritä saada näiden avulla niin tarkka approksimaatio luvulle kuin mahdollista. Kuinka monta oikeata desimaalia saadaan?

Vastaus

---

Tehtävä 8

Lukujono muodostetaan rekursiokaavalla x_n+1 = 1 - ax, missä x₀ = 0. Parametrille a pätee 0 < a < 2. Tutki kokeellisesti, miten jono käyttäytyy suurilla indeksin n arvoilla: laske 100 – 200 jonon lukua ja tulosta sen jälkeen näkyviin 10 – 20 seuraavaa lukua. Tarkastele erityisesti parametriarvoja a = 0.5,  0.8,  1,  1.3,  1.39,  1.6.

Vastaus

---

Tehtävä 9

Onko edellisen tehtävän jonolla raja-arvoa? Lausu raja-arvo parametrin a funktiona ja piirrä funktion kuvaaja. Mitä mahdetaan tarkoittaa käsitteillä yläraja-arvo ja alaraja-arvo (lim sup, lim inf, limes superior, limes inferior)? Entä lukujonon kasautumispisteellä?

Vastaus

---

1.2 Vakioterminen sarja

Tehtävä 10

Laske sarjan

osasummia pienillä indeksin arvoilla ja arvaa näiden perusteella osasumman s_n lauseke. Todista arvauksesi. Osoita, että sarja suppenee ja määritä sen summa.

Vastaus

---

Tehtävä 11

Laske sarjan

osasummia pienillä indeksin arvoilla ja arvaa näiden perusteella osasumman s_n lauseke. Todista arvauksesi. Osoita, että sarja suppenee ja määritä sen summa.

Vastaus

---

Tehtävä 12

Laske sarjan 1/k² osasummia, ja tutki, miten lähelle sarjan summaa päästään. Tarkka arvo on ²/6. Tutki samalla tavoin sarjaa

,

jonka summa on ⁴/96.

Vastaus

---

Tehtävä 13

Todista, että suppenevan sarjan a_k termien joukko { a_k | k } on rajoitettu.

Vastaus

---

Tehtävä 14

a) Olkoon a_k suppeneva sarja. Todista, että jokaisella p myös sarja a_k suppenee. b) Olkoon a_k hajaantuva sarja. Todista, että jokaisella p myös sarja a_k hajaantuu.

Vastaus

---

Tehtävä 15

a) Todista, että jos a_k suppenee ja b_k hajaantuu, niin (a_k + b_k ) hajaantuu. b) Näytä esimerkillä, että jos a_k ja b_k hajaantuvat, niin (a_k + b_k) voi olla suppeneva sarja.

Vastaus

---

Tehtävä 16

Olkoon a_k suppeneva sarja ja sen summa = s. Osoita, että sarja (a_k + a_k+2) suppenee, ja määritä sen summa.

Vastaus

---

Tehtävä 17

Osoita oikeaksi tai vääräksi seuraavat väitteet: a) Jos a_k suppenee, niin myös (a_k + a) suppenee. b) Jos a suppenee, niin myös (a_k + a) suppenee.

Vastaus

---

Tehtävä 18

Todista: Jos sarja |a_k| suppenee, niin myös sarja a_k suppenee. Päteekö käänteinen lause?

Vastaus

---

Tehtävä 19

Olkoot ja kaksi lukujonoa, joille pätee a_k = b_k+1 - b_k, k = 1, 2, 3, . . . . Osoita, että sarja a_k suppenee, jos ja vain jos jono suppenee.

Vastaus

---