2 Sarjojen suppenemiskriteerejä

2.1 Geometrinen sarja

Tehtävä 20

Tutki, millä arvoilla x sarja

^k

suppenee. Määritä summafunktio ja piirrä sen kuvaaja.

Vastaus

---

Tehtävä 21

Millä muuttujan x arvoilla sarja

tan ^kx

suppenee? Mikä on sen summa? Piirrä summafunktion kuvaaja.

Vastaus

---

Tehtävä 22

Tutki, millä arvoilla x sarja

2^k cos 2x sin ^2kx

suppenee. Määritä summafunktio ja piirrä sen kuvaaja.

Vastaus

---

Tehtävä 23

Millä reaalisilla muuttujan x arvoilla sarja e^-kx suppenee? Mikä on tällöin sen summa?

Vastaus

---

Tehtävä 24

Määritä sarjan

summa. Onko summafunktio jatkuva?

Vastaus

---

Tehtävä 25

Kehitä funktio

f(x) = ,   a0,  b0,

sarjaksi a) muuttujan x nousevien, b) sen laskevien potenssien mukaan. Millä muuttujan arvoilla sarja suppenee?

Vastaus

---

Tehtävä 26

Akhilles ja kilpikonna juoksevat kilpaa. Akhilles juoksee kymmenen kertaa niin nopeasti kuin kilpikonna. Varmana voitostaan Akhilles antaa kilpikonnalle yhden stadionin (164 – 192 metriä muinaiskreikkalaisesta paikkakunnasta riippuen) etumatkan. Kun Akhilles on juossut yhden stadionin, on kilpikonna juossut stadionin kymmenesosan ja on siis tämän verran edellä. Kun Akhilles on juossut tämän kymmenesosan verran lisää, on kilpikonna juossut yhden sadasosastadionin lisää ja on edelleen edellä. Näin kilpailu jatkuu loppumattomiin kilpikonnan jatkuvasti johtaessa. Eikö Akhilles voitakaan? Jos voittaa, niin miten pitkän matkan juostuaan hän ohittaa kilpikonnan?

Vastaus

---

2.2 Positiivitermiset sarjat

Tehtävä 27

Tutki seuraavien sarjojen suppenemista annettuja positiivitermisten sarjojen suppenemistestejä käyttäen:

	a)   2,		vertailutesti,
	b)  k2 sin ,		suhdetesti,
	c)  ,		juuritesti,
	d)  ,		integraalitesti.

Vastaus

---

Tehtävä 28

Olkoon > 0. Tutki integraalitestiä käyttäen, suppeneeko sarja

.

Perustele myös, miksi integraalitestiä voidaan käyttää. Miten sarja käyttäytyy, jos < 0?

Vastaus

---

Tehtävä 29

Tutki vertailutestien avulla seuraavien sarjojen suppenemista:

a) ,     b) ,     c) ( - ).

Vastaus

---

Tehtävä 30

Olkoon > 0. Muodosta sopiva vertailusarja, jolla voidaan tutkia sarjan

suppenemista. Millä parametrin arvoilla sarja suppenee, millä hajaantuu?

Vastaus

---

Tehtävä 31

Olkoon p, q , 0 < q < p. Tutki seuraavien sarjojen suppenemista:

a) ,     b) ,     c)  .

Vastaus

---

Tehtävä 32

Tutki seuraavien sarjojen suppenemista:

a) ,     b) ,     c) .

Vastaus

---

Tehtävä 33

Tutki seuraavien sarjojen suppenemista:

a) ,     b) ,     c) (pk)^- ,  p .

Vastaus

---

Tehtävä 34

Tutki seuraavien sarjojen suppenemista:

a) ,     b) ,     c) .

Vastaus

---

Tehtävä 35

Tutki seuraavien sarjojen suppenemista:

a)  ^k,     b) ,  p, q ,     c) .

Vastaus

---

Tehtävä 36

Tutki seuraavien sarjojen suppenemista:

a) ,  > 0,     b) ,     c) .

Vastaus

---

Tehtävä 37

Olkoon . Tutki seuraavien sarjojen suppenemista:

a) ,     b) ,     c) .

Vastaus

---

Tehtävä 38

Olkoon

a_k = .

Osoita, että lim_ka_k = 0 tarkastelemalla sarjaa a_k.

Vastaus

---

Tehtävä 39

Todista: Jos a₁ > a₂ > . . . > a_k > a_k+1 > . . . > 0 ja sarja a_k suppenee, niin lim_k ka_k = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 40

Osoita esimerkillä, että jos edellisessä tehtävässä luovutaan jonoa koskevasta monotonisuusoletuksesta, niin väite ei enää välttämättä päde.

Vastaus

---

2.3 Vuorottelevat sarjat

Tehtävä 41

Osoita, että sarja

suppenee. Määritä sarjan summa yhden tuhannesosan tarkkuudella.

Vastaus

---

Tehtävä 42

Tutki seuraavien sarjojen suppenemista:

a) ,     b) ,     c) .

Vastaus

---

Tehtävä 43

Tutki seuraavien sarjojen suppenemista:

a) (-1)^k,     b) ,     c) (-1)^k( - ).

Vastaus

---

Tehtävä 44

Arvioi, montako termiä on otettava sarjasta

,

jotta sen summalle pisteessä x = - saataisiin likiarvo, jonka virhe on < 10^-4?

Vastaus

---

Tehtävä 45

Luku voidaan laskea seuraavista sarjoista:

= = .

Kuinka monta termiä sarjoihin on otettava, jotta saataisiin 10 desimaalin tarkkuudella?

Vastaus

---

Tehtävä 46

Tarkastellaan sarjaa a_k, missä

a_2p-1 = ,     a_2p = -,     p = 1, 2, 3, . . . .

Kirjoita sarjan kahdeksan ensimmäistä termiä. Osoita, että sarja hajaantuu ryhmittämällä termit kahden termin ryhmiin (ts. laske a_2p-1 + a_2p). Miksi sarjaan ei voida soveltaa Leibnizin lausetta?

Vastaus

---

Tehtävä 47

Olkoon a_k suppeneva positiiviterminen sarja. Osoita, että tällöin myös sarja a suppenee. Päteekö väite yleisesti, jos luovutaan lukujen a_k positiivisuudesta?

Vastaus

---

Tehtävä 48

Laske jonkin symbolisen tietokoneohjelman avulla harmonisten sarjojen 1/k^p summia. Millaisia tuloksia saadaan luvun p eri arvoilla? Entä jos käytetään eksponenttina symbolia p? (Tuloksissa esiintyy ns. Riemannin -funktion arvoja. Tällä funktiolla on tiettyä kuuluisuutta mm. siihen liittyvien avoimien matemaattisten ongelmien vuoksi.)

Vastaus

---