6 Fourier’n sarjat

6.1 Fourier’n kertoimet

Tehtävä 123

Muodosta funktion f : ] - , [ , f(x) = x, trigonometrinen Fourier’n sarja. Piirrä sarjan osasummien kuvaajia.

Vastaus

---

Tehtävä 124

Funktio f : on 2-jaksoinen ja sen arvot välillä [0, 2[ lasketaan lausekkeesta f(x) = x. Muodosta funktion trigonometrinen Fourier’n sarja.

Vastaus

---

Tehtävä 125

Muodosta a) eksponenttimuotoinen, b) trigonometrinen Fourier’n sarja funktiolle f(x) = |x| välillä [-, ].

Vastaus

---

Tehtävä 126

Muodosta funktion f(x) = |x| eksponenttimuotoinen Fourier’n sarja välillä [-1, 1]. Kirjoita sarja myös trigonometriseen muotoon.

Vastaus

---

Tehtävä 127

Laske Fourier’n sarja välillä ] - 1, 1[   a) eksponenttimuodossa, b) trigonometrisessa muodossa funktiolle f(x) = -1, kun x  ] - 1, 0[, ja = 1, kun x  ]0, 1[.

Vastaus

---

Tehtävä 128

Kehitä funktio x² trigonometriseksi Fourier’n sarjaksi välillä [-p, p].

Vastaus

---

Tehtävä 129

Määritä funktion

f(x) =

trigonometrinen Fourier’n sarja.

Vastaus

---

Tehtävä 130

Muodosta trigonometrinen Fourier’n sarja funktiolle f, jonka jaksona on 2 ja joka saa seuraavat arvot:

f(x) =

Vastaus

---

Tehtävä 131

Funktion jaksona on 2p ja se muodostuu kolmioaalloista:

f(x) =

Piirrä funktion kuvaaja ja laske sen trigonometrinen Fourier’n sarja.

Vastaus

---

Tehtävä 132

Osoita, että parillisen reaalifunktion trigonometrinen Fourier’n sarja sisältää yksinomaan kosinitermejä ja parittoman funktion sinitermejä.

Vastaus

---

Tehtävä 133

Olkoot f ja g jatkuvia 2-jaksoisia funktioita , joiden eksponenttimuotoisen Fourier’n sarjan kertoimet ovat c_k ja d_k. Näiden funktioiden konvoluutio h = f * g määritellään yhtälöllä

h(x) = f(x - t)g(t) dt.

Osoita, että h on 2-jaksoinen ja sen Fourier’n kertoimet ovat e_k = c_kd_k.

Vastaus

---

6.2 Suppeneminen

Tehtävä 134

Olkoon f(x) = e^x välillä [-, ]. Muodosta funktion eksponenttimuotoinen ja trigonometrinen Fourier’n sarja. Piirrä Fourier’n sarjan osasummien kuvaajia. Tarkastele väliä [-2, 2]. Suppeneeko sarja tasaisesti?

Vastaus

---

Tehtävä 135

Muodosta eksponenttimuotoinen Fourier’n sarja funktiolle f(x) = |x| välillä [-, ]. Suppeneeko tämä tasaisesti kohden funktiota f?

Vastaus

---

Tehtävä 136

Laske funktion

f(x) =

eksponenttimuotoinen Fourier’n sarja. Suppeneeko se tasaisesti kohden funktiota f? Saadaanko sarja derivoimalla funktion |x| Fourier’n sarja termeittäin?

Vastaus

---

Tehtävä 137

Laske sarjojen

  ja  

summat käyttämällä hyväksi funktion f(x) = |x| Fourier’n sarjaa välillä [-, ].

Vastaus

---

Tehtävä 138

Muodosta Fourier’n sarja funktiolle

f(x) =

Miten tämä suhtautuu sarjaan, joka saadaan funktion |x| Fourier’n sarjasta termeittäin integroimalla?

Vastaus

---

Tehtävä 139

Muodosta funktion f(x) = x² Fourier’n sarja välillä [-, ]. Suppeneeko sarja tasaisesti?

Vastaus

---

Tehtävä 140

Määritä funktion x² Fourier’n sarjan avulla sarjojen

,       ja  

summat.

Vastaus

---

Tehtävä 141

Muodosta funktion x³ Fourier’n sarja käyttämällä hyväksi funktion x² Fourier’n sarjaa.

Vastaus

---

Tehtävä 142

Muodosta funktion sinh x eksponenttimuotoinen Fourier’n sarja välillä [-, ]. Miten helpoimmin saadaan trigonometrinen Fourier’n sarja? Suppeneeko sarja tasaisesti?

Vastaus

---

Tehtävä 143

Derivoi funktion sinh x Fourier’n sarja termeittäin. Onko tulos jonkin funktion Fourier’n sarja? Minkä? Suppeneeko sarja tasaisesti?

Vastaus

---

Tehtävä 144

Muodosta eksponenttimuotoiset Fourier’n sarjat funktioille

f(x) =     ja    g(x) =

Suppenevatko sarjat a) pisteittäin, b) tasaisesti kohti funktioita? Piirrä osasummien kuvaajia.

Vastaus

---

6.3 Sini- ja kosinisarjat

Tehtävä 145

Määritä kertoimet b_k siten, että yhtälö

1 = b_k sin kx

on voimassa välillä ]0, 1[. Suppeneeko sarja tasaisesti? Päteekö yhtälö välin päätepisteissä?

Vastaus

---

Tehtävä 146

Kehitä funktio cos ²x a) sinisarjaksi, b) kosinisarjaksi välillä [0, ]. Millaisia 2-jaksoisia funktioita sarjat esittävät?

Vastaus

---

Tehtävä 147

Funktio f määritellään välillä ]0, 1[ asettamalla f(x) = 1 - x. Kehitä tämä a) sinisarjaksi, b) kosinisarjaksi. Minkälaisia jaksollisia funktioita sarjojen summat ovat?

Vastaus

---