5 Potenssisarjat

5.1 Määritelmä ja suppeneminen

Tehtävä 84

Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät:

a)  ^k,     b)  ^k,     c) (z - i)^k.

Vastaus

---

Tehtävä 85

Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät:

a)  ^k,     b)  ^k,     c)  z^2k.

Vastaus

---

Tehtävä 86

Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät:

a)  (z - 1)^k,     b)  (z - i)^k,     c) k^p(z + 2 + 3i)^k,   p .

Vastaus

---

Tehtävä 87

Määritä potenssisarjan

^k

suppenemissäde. Piirrä summafunktion kuvaaja.

Vastaus

---

Tehtävä 88

Määritä potenssisarjan

(-1)^kz^2k

suppenemissäde ja summa palauttamalla se sopivaan geometriseen sarjaan.

Vastaus

---

Tehtävä 89

Laske sarjan

(-1)^kkx^2k-1

summa tulkitsemalla se erään toisen sarjan derivaataksi. Mikä on sarjan suppenemissäde?

Vastaus

---

Tehtävä 90

Osoita, että sarja k/3^k suppenee ja määritä sen summa.

Vastaus

---

Tehtävä 91

Funktio f määritellään potenssisarjan summana

f(z) =  z^k

suppenemisympyrässä. Piirrä funktion kuvaaja, kun muuttuja z rajoitetaan reaaliseksi.

Vastaus

---

Tehtävä 92

Potenssisarjan

c_kz^k

kertoimet toteuttavat rekursion

c₁ = 1,     c_k+1 = c_k,   k .

Määritä sarjan suppenemissäde ja piirrä summafunktion kuvaaja reaalialueella summeeraamalla sarjan termejä. Piirrä osasummien kuvaajia myös jonkin matkaa suppenemisalueen ulkopuolelle.

Vastaus

---

Tehtävä 93

Millä muuttujan x arvoilla sarja a_kx^k suppenee, kun tiedetään, että k < a_k < k² kaikilla indekseillä k?

Vastaus

---

Tehtävä 94

Kehitä funktio

f(z) =

potenssisarjaksi lausekkeen z - i potenssien mukaan muokkaamalla funktion lauseke sopivan geometrisen sarjan summan muotoon. Mikä on sarjan suppenemisympyrä?

Vastaus

---

Tehtävä 95

Kehitä funktio

f(z) =

potenssisarjaksi lausekkeen z + 3 potenssien mukaan. Mikä on sarjan suppenemisympyrä?

Vastaus

---

Tehtävä 96

Muodosta origokeskinen potenssisarja funktiolle

f(z) = .

Mitä voidaan sanoa tämän suppenemisjoukosta?

Vastaus

---

Tehtävä 97

Muodosta funktion

f(z) =

osamurtokehitelmä kompleksialueella. Tulkitse syntyneet termit lausekkeen z - 1 potenssien mukaan etenevien geometristen sarjojen summiksi ja muodosta funktion potenssisarja pisteessä z = 1. Arvioi sarjan kertoimien avulla numeerisesti suppenemissädettä. Millä reaaliakselin avoimella välillä sarja suppenee? Miten suppenemissäde suhtautuu nimittäjän nollakohtiin?

Vastaus

---

Tehtävä 98

Olkoon funktio f määritelty potenssisarjan avulla:

f(z) = .

Merkitään

= z^k;

tässä B₀ , B₁ , B₂, . . . ovat Bernoulli’n lukuja. Määritä viisi ensimmäistä Bernoulli’n lukua muodostamalla sarjojen Cauchyn tulo.

Vastaus

---

5.2 Taylorin sarja

Tehtävä 99

Olkoon

f(x) = e^-1/x2 ,   kun x0,    ja    f(0) = lim_x0f(x).

Muodosta funktion f Maclaurinin sarja.

Vastaus

---

5.3 Alkeisfunktioiden Taylorin sarjat

Tehtävä 100

Muodosta funktion tan x Maclaurinin sarjat pisteissä x = 1 ja x = 1/. Todista, että nämä suppenevat ja että niiden summat ovat tan 1 ja tan(1/). Miten näiden avulla voidaan laskea luvun likiarvoja? Montako termiä tarvitaan, jotta saadaan 10 desimaalin tarkkuudella?

Vastaus

---

Tehtävä 101

Sinifunktion arvoja lasketaan Maclaurinin sarjasta välillä [10, 12] ottamalla huomioon 60 nollasta eroavaa termiä. Arvioi tällöin syntyvää virhettä Leibnizin testin virhearvion mukaisesti. Piirrä sinifunktion kuvaaja ja approksimaatiofunktion kuvaaja. Havainto? Sen selitys?

Vastaus

---

Tehtävä 102

Muodosta origokeskinen potenssisarja funktiolle ln(1 + x) ja tämän avulla funktiolle

f(x) = ln .

Mitkä ovat sarjojen suppenemissäteet? Minkä lukujen logaritmit jälkimmäisen sarjan avulla voidaan laskea?

Vastaus

---

Tehtävä 103

Juurelle voidaan laskea likiarvoja kirjoittamalla juurrettava muotoon x = pⁿ + y ja kehittämällä funktio = f(y) = (pⁿ + y)^1/n binomisarjaksi. Tässä p on sellainen luonnollinen luku, jonka n:s potenssi lähellä lukua x. Tutki approksimaatiota tapauksessa x [15600, 15650], n = 6. Miten saavutettava tarkkuus riippuu binomisarjaan otettavien termien lukumäärästä? Tutki erityisesti juurelle saatavia likiarvoja.

Vastaus

---

Tehtävä 104

Esitä binomisarjaan perustuva menettely, jolla funktio (a + bx) (a0, b 0, x ) voidaan kehittää sarjaksi pisteessä x = c. Mikä on kehitelmän suppenemisväli?

Vastaus

---

Tehtävä 105

Muodosta origokeskiset Taylorin sarjat funktioille e^z₁ ja e^z₂. Laske näiden Cauchyn tulo ja totea, että se on lausekkeen e^z₁+z₂ Taylorin sarja.

Vastaus

---

Tehtävä 106

Esitä funktioiden e^x ja e^-x origokeskiset Taylorin sarjat. Muodosta näiden Cauchyn tulo. Millaisia lukuja ovat tämän kertoimet?

Vastaus

---

5.4 Eri tapoja muodostaa Taylorin sarja

Tehtävä 107

Johda Maclaurinin sarja funktiolle sin ²x. Tapoja on useita; esitä ainakin kolme.

Vastaus

---

Tehtävä 108

Muodosta Maclaurinin sarja funktiolle cos ²x ainakin kolmella eri tavalla.

Vastaus

---

Tehtävä 109

Muodosta funktiolle e^x cos x potenssisarja a) käyttäen Cauchyn tuloa, b) tarkastelemalla kompleksista eksponenttifunktiota e^z.

Vastaus

---

Tehtävä 110

Esitä vähintään kolme eri tapaa muodostaa funktion sin x Maclaurinin sarja. Mikä on sarjan suppenemisympyrä kompleksitasossa?

Vastaus

---

Tehtävä 111

Muodosta funktion y = tan x Maclaurinin sarja y = a_kx^k sijoittamalla tähän sarjaan funktion x = tan y Maclaurinin sarja ja vaatimalla, että tulos on = y.

Vastaus

---

Tehtävä 112

Laske funktion e^x4 kaikkien derivaattojen arvot origossa sarjakehitelmän avulla.

Vastaus

---

Tehtävä 113

Etsi sellainen potenssisarja, että tämän Cauchyn tulo itsensä kanssa on

z^2k.

Mikä tunnettu trigonometrian kaava on kyseessä?

Vastaus

---

Tehtävä 114

Johda Maclaurinin sarja funktiolle f : ,

f(x) = e^-t2 dt.

Millä arvoilla sarja suppenee? Laske f(1) kymmenen desimaalin tarkkuudella. Laske tulos myös integroimalla numeerisesti.

Vastaus

---

Tehtävä 115

Muodosta funktiolle f : ,

f(x) = dt,

origokeskinen Taylorin sarja. Millä muuttujan x arvoilla sarja suppenee?

Vastaus

---

Tehtävä 116

Piirrä funktion

f(x) = dt

kuvaaja, kun x [0, 10]. Etsi nelidesimaalinen likiarvo luvulle f(10).

Vastaus

---

Tehtävä 117

Laske viisidesimaalinen likiarvo integraalille

dx

sarjakehitelmää käyttäen.

Vastaus

---

Tehtävä 118

Laske viisidesimaalinen likiarvo integraalille

dx

sarjakehitelmää käyttäen.

Vastaus

---

Tehtävä 119

Kehitä sarjaksi muuttujan x potenssien mukaan funktio

f(x) = .

Vastaus

---

Tehtävä 120

Muodosta jonkin symbolisen tietokoneohjelman avulla funktion

f(x) =

Maclaurinin sarjan osasummia. Piirrä osasumien kuvaajia ja vertaa niitä itse funktioon.

Vastaus

---

Tehtävä 121

Muodosta Maclaurinin sarjat Fresnelin integraaleille

S(x) = sin t² dt,     C(x) = cos t² dt.

Millä muuttujan x arvoilla nämä sarjat suppenevat?

Vastaus

---

Tehtävä 122

Muodosta astetta 10 olevat Taylorin polynomit funktiolle sin x pisteissä x = 0 ja x = . Piirrä funktion ja polynomien kuvaajat.

Vastaus

---