Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

5 Potenssisarjat

5.1 Määritelmä ja suppeneminen

Tehtävä 84
Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät:

a)  sum  oo 


k=1(      )
  z-+-3-
   2k k,     b)  sum  oo 


k=0[          ]
 -----z----
 2 + (- 1)k k,     c)  oo  sum 


k=0    2
(k!)-
(2k)!(z - i)k.

Vastaus


Tehtävä 85
Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät:

a)  sum  oo 

k=1(z  - 1 )
  ------
    2k k,     b)  sum  oo 

k=0[z  - 1-  i]
  ------k--
   2 + i k,     c)  sum  oo 

k=0(k!)2
-----
(2k)! z2k.

Vastaus


Tehtävä 86
Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät:

a)  oo  sum 

k=1kk
---
k! (z - 1)k,     b)  sum  oo 

k=1k!
-k-
k (z - i)k,     c)  oo  sum 

k=1kp(z + 2 + 3i)k,   p  (- N.

Vastaus


Tehtävä 87
Määritä potenssisarjan

 sum  oo 

 k=1(x )
  --
  k k

suppenemissäde. Piirrä summafunktion kuvaaja.

Vastaus


Tehtävä 88
Määritä potenssisarjan

 sum  oo 

k=0(-1)k2k + 1
---k---
  2z2k

suppenemissäde ja summa palauttamalla se sopivaan geometriseen sarjaan.

Vastaus


Tehtävä 89
Laske sarjan

 oo  sum 

k=1(-1)kkx2k-1

summa tulkitsemalla se erään toisen sarjan derivaataksi. Mikä on sarjan suppenemissäde?

Vastaus


Tehtävä 90
Osoita, että sarja  sum oo  
   k=1k/3k suppenee ja määritä sen summa.

Vastaus


Tehtävä 91
Funktio f määritellään potenssisarjan summana

f(z) =  sum  oo 

k=0     1
---------kk-
[2 + (- 1) ] zk

suppenemisympyrässä. Piirrä funktion kuvaaja, kun muuttuja z rajoitetaan reaaliseksi.

Vastaus


Tehtävä 92
Potenssisarjan

 oo  sum 

k=1ckzk

kertoimet toteuttavat rekursion

c1 = 1,     ck+1 = (         k + 1 )
 k - k2 ln------
            k ck,   k  (- N.

Määritä sarjan suppenemissäde ja piirrä summafunktion kuvaaja reaalialueella summeeraamalla sarjan termejä. Piirrä osasummien kuvaajia myös jonkin matkaa suppenemisalueen ulkopuolelle.

Vastaus


Tehtävä 93
Millä muuttujan x  (- R arvoilla sarja  sum o o 
  k=1akxk suppenee, kun tiedetään, että k < ak < k2 kaikilla indekseillä k?

Vastaus


Tehtävä 94
Kehitä funktio

f(z) = --1---
1 - z

potenssisarjaksi lausekkeen z - i potenssien mukaan muokkaamalla funktion lauseke sopivan geometrisen sarjan summan muotoon. Mikä on sarjan suppenemisympyrä?

Vastaus


Tehtävä 95
Kehitä funktio

f(z) = --1---
1 - z

potenssisarjaksi lausekkeen z + 3 potenssien mukaan. Mikä on sarjan suppenemisympyrä?

Vastaus


Tehtävä 96
Muodosta origokeskinen potenssisarja funktiolle

f(z) = --1---
2- z2.

Mitä voidaan sanoa tämän suppenemisjoukosta?

Vastaus


Tehtävä 97
Muodosta funktion

f(z) = ---2z-+-5--
z2 + 2z + 5

osamurtokehitelmä kompleksialueella. Tulkitse syntyneet termit lausekkeen z - 1 potenssien mukaan etenevien geometristen sarjojen summiksi ja muodosta funktion potenssisarja pisteessä z = 1. Arvioi sarjan kertoimien avulla numeerisesti suppenemissädettä. Millä reaaliakselin avoimella välillä sarja suppenee? Miten suppenemissäde suhtautuu nimittäjän nollakohtiin?

Vastaus


Tehtävä 98
Olkoon funktio f määritelty potenssisarjan avulla:

f(z) =  sum  oo 

k=0   zk
--------
(k + 1)!.

Merkitään

-1---
f(z) =  sum  oo 

k=0Bk-
k! zk;

tässä B0 , B1 , B2, . . . ovat Bernoulli’n lukuja. Määritä viisi ensimmäistä Bernoulli’n lukua muodostamalla sarjojen Cauchyn tulo.

Vastaus


5.2 Taylorin sarja

Tehtävä 99
Olkoon

f(x) = e-1/x2 ,   kun x/=0,    ja    f(0) = limx-->0f(x).

Muodosta funktion f Maclaurinin sarja.

Vastaus


5.3 Alkeisfunktioiden Taylorin sarjat

Tehtävä 100
Muodosta funktion ---
arctan x Maclaurinin sarjat pisteissä x = 1 ja x = 1/ V~ --
  3. Todista, että nämä suppenevat ja että niiden summat ovat ---
arctan 1 ja ---
arctan(1/ V~ --
  3). Miten näiden avulla voidaan laskea luvun p likiarvoja? Montako termiä tarvitaan, jotta p saadaan 10 desimaalin tarkkuudella?

Vastaus


Tehtävä 101
Sinifunktion arvoja lasketaan Maclaurinin sarjasta välillä [10p, 12p] ottamalla huomioon 60 nollasta eroavaa termiä. Arvioi tällöin syntyvää virhettä Leibnizin testin virhearvion mukaisesti. Piirrä sinifunktion kuvaaja ja approksimaatiofunktion kuvaaja. Havainto? Sen selitys?

Vastaus


Tehtävä 102
Muodosta origokeskinen potenssisarja funktiolle ln(1 + x) ja tämän avulla funktiolle

f(x) = ln 1 + x
------
1 - x.

Mitkä ovat sarjojen suppenemissäteet? Minkä lukujen logaritmit jälkimmäisen sarjan avulla voidaan laskea?

Vastaus


Tehtävä 103
Juurelle  V~ nx- voidaan laskea likiarvoja kirjoittamalla juurrettava muotoon x = pn + y ja kehittämällä funktio n V~  --
  x = f(y) = (pn + y)1/n binomisarjaksi. Tässä p on sellainen luonnollinen luku, jonka n:s potenssi lähellä lukua x. Tutki approksimaatiota tapauksessa x  (- [15600, 15650], n = 6. Miten saavutettava tarkkuus riippuu binomisarjaan otettavien termien lukumäärästä? Tutki erityisesti juurelle  V~ ------
 615620 saatavia likiarvoja.

Vastaus


Tehtävä 104
Esitä binomisarjaan perustuva menettely, jolla funktio (a + bx)a (a/=0, b/= 0, x  (- R) voidaan kehittää sarjaksi pisteessä x = c. Mikä on kehitelmän suppenemisväli?

Vastaus


Tehtävä 105
Muodosta origokeskiset Taylorin sarjat funktioille ez1 ja ez2. Laske näiden Cauchyn tulo ja totea, että se on lausekkeen ez1+z2 Taylorin sarja.

Vastaus


Tehtävä 106
Esitä funktioiden ex ja e-x origokeskiset Taylorin sarjat. Muodosta näiden Cauchyn tulo. Millaisia lukuja ovat tämän kertoimet?

Vastaus


5.4 Eri tapoja muodostaa Taylorin sarja

Tehtävä 107
Johda Maclaurinin sarja funktiolle sin 2x. Tapoja on useita; esitä ainakin kolme.

Vastaus


Tehtävä 108
Muodosta Maclaurinin sarja funktiolle cos 2x ainakin kolmella eri tavalla.

Vastaus


Tehtävä 109
Muodosta funktiolle ex cos x potenssisarja a) käyttäen Cauchyn tuloa, b) tarkastelemalla kompleksista eksponenttifunktiota ez.

Vastaus


Tehtävä 110
Esitä vähintään kolme eri tapaa muodostaa funktion arcsin x Maclaurinin sarja. Mikä on sarjan suppenemisympyrä kompleksitasossa?

Vastaus


Tehtävä 111
Muodosta funktion y = tan x Maclaurinin sarja y =  sum o o 
  k=0akxk sijoittamalla tähän sarjaan funktion x = ---
arctan y Maclaurinin sarja ja vaatimalla, että tulos on = y.

Vastaus


Tehtävä 112
Laske funktion ex4 kaikkien derivaattojen arvot origossa sarjakehitelmän avulla.

Vastaus


Tehtävä 113
Etsi sellainen potenssisarja, että tämän Cauchyn tulo itsensä kanssa on

 oo  sum 

k=1     k+1
(--1)---
 2(2k)! z2k.

Mikä tunnettu trigonometrian kaava on kyseessä?

Vastaus


Tehtävä 114
Johda Maclaurinin sarja funktiolle f : R --> R,

f(x) =  integral 
  x

 0e-t2 dt.

Millä arvoilla sarja suppenee? Laske f(1) kymmenen desimaalin tarkkuudella. Laske tulos myös integroimalla numeerisesti.

Vastaus


Tehtävä 115
Muodosta funktiolle f : R --> R,

f(x) =  integral 
  x

 0sin tx
---t-- dt,

origokeskinen Taylorin sarja. Millä muuttujan x arvoilla sarja suppenee?

Vastaus


Tehtävä 116
Piirrä funktion

f(x) =  integral 
   x

 0sin tx
--t--- dt

kuvaaja, kun x  (- [0, 10]. Etsi nelidesimaalinen likiarvo luvulle f(10).

Vastaus


Tehtävä 117
Laske viisidesimaalinen likiarvo integraalille

 integral  1

 0sinx
-----
  x dx

sarjakehitelmää käyttäen.

Vastaus


Tehtävä 118
Laske viisidesimaalinen likiarvo integraalille

 integral  1

 01 - cosx
-----2---
   x dx

sarjakehitelmää käyttäen.

Vastaus


Tehtävä 119
Kehitä sarjaksi muuttujan x potenssien mukaan funktio

f(x) =  integral  p/2

 0      dt
 V~ -------------
   1- x2 sin2t.

Vastaus


Tehtävä 120
Muodosta jonkin symbolisen tietokoneohjelman avulla funktion

f(x) = ex2
-----
cosx

Maclaurinin sarjan osasummia. Piirrä osasumien kuvaajia ja vertaa niitä itse funktioon.

Vastaus


Tehtävä 121
Muodosta Maclaurinin sarjat Fresnelin integraaleille

S(x) =  integral 
   x

  0 sin t2 dt,     C(x) =  integral 
  x

 0 cos t2 dt.

Millä muuttujan x arvoilla nämä sarjat suppenevat?

Vastaus


Tehtävä 122
Muodosta astetta 10 olevat Taylorin polynomit funktiolle arcsin x pisteissä x = 0 ja x = 1
2. Piirrä funktion ja polynomien kuvaajat.

Vastaus


Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo