4 Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat

4.1 Funktiojono ja funktioterminen sarja

Tehtävä 60

Tutki, millä muuttujan x arvoilla funktiojono suppenee, kun

a) f_k(x) = ,     b) f_k(x) = ,     c) f_k(x) = .

Mikä on rajafunktio?

Vastaus

---

Tehtävä 61

Tutki, millä muuttujan x arvoilla sarja f_k suppenee, kun

a) f_k(x) = ,     b) f_k(x) = ,     c) f_k(x) = .

Piirrä summafunktion kuvaaja.

Vastaus

---

4.2 Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Tehtävä 62

Määritä funktiojonon

f_n(x) =

rajafunktio joukossa . Piirrä funktioiden f_n kuvaajia. Onko suppeneminen tasaista?

Vastaus

---

Tehtävä 63

Tarkastellaan reaalilukujoukossa funktiojonoja

f_n(x) =   ja  g_n(x) = f'_n(x).

Piirrä funktioiden kuvaajia. Tutki, suppenevatko funktiojonot tasaisesti. Millaisia ovat rajafunktiot?

Vastaus

---

Tehtävä 64

Tarkastellaan reaalilukujoukossa funktiojonoja

f_n(x) =   ja  g_n(x) = f'_n(x).

Piirrä funktioiden kuvaajia. Tutki, suppenevatko funktiojonot tasaisesti. Millaisia ovat rajafunktiot?

Vastaus

---

Tehtävä 65

Olkoon

f₍x) = nx(1 - x)ⁿ,   x [0, 1].

Määritä rajafunktio f(x) = lim_nf_n(x) ja tutki, onko suppeneminen tasaista. Piirrä funktioiden kuvaajia.

Vastaus

---

Tehtävä 66

Olkoon

f_n(x) = lim_p(cos n!x)^2p,   x ,  p .

Suppeneeko funktiojono kaikilla x ? Minkälainen on rajafunktio? Tarkastele erikseen muuttujan x rationaali- ja irrationaaliarvoja.

Vastaus

---

Tehtävä 67

Osoita, että sarja

suppenee tasaisesti joukossa . Piirrä summafunktion kuvaaja.

Vastaus

---

Tehtävä 68

Osoita Weierstrassin testiä käyttäen, että sarja

suppenee tasaisesti joukossa .

Vastaus

---

Tehtävä 69

Osoita, että sarja

(-1)^k

suppenee tasaisesti jokaisella rajoitetulla välillä [-a, a]. Voidaanko tarkastelussa käyttää Weierstrassin testiä? Entä Leibnizin lausetta?

Vastaus

---

Tehtävä 70

Tutki, suppeneeko sarja

tasaisesti välillä [0, [. Onko suppeneminen tasaista välillä [a, [, missä a > 0?

Vastaus

---

Tehtävä 71

Osoita Weierstrassin testiä käyttäen, että funktioterminen sarja suppenee tasaisesti kompleksitason ympyrärenkaassa 2 < |z| < 3.

Vastaus

---

Tehtävä 72

Osoita, että sarja

suppenee tasaisesti kaikilla x . Laske sarjan summa pisteissä x = 0,  ,  .

Vastaus

---

Tehtävä 73

Tutki, suppeneeko sarja

tasaisesti siinä kompleksitason joukossa, joka saadaan poistamalla termien nimittäjien nollakohdat ympyrästä |z| < R (R vakio).

Vastaus

---

Tehtävä 74

Oletetaan, että sarja f_k(x) suppenee tasaisesti ja |f_k(x)| pisteittäin välillä [a, b]. Seuraako tästä, että |f_k(x)| suppenee tasaisesti ko. välillä? Tarkastele esimerkkinä funktioita f_k(x) = (-1)^kx^k(1 - x) välillä [0, 1].

Vastaus

---

4.3 Tasainen suppeneminen ja jatkuvuus

Tehtävä 75

Tutki, millä muuttujan x arvoilla sarja

suppenee ja määritä sen summa. Piirrä summafunktion kuvaaja. Onko summafunktio määrittelyalueessaan jatkuva? Suppeneeko sarja tasaisesti välillä [0, 1]? Entä välillä [1, 2]? Perustele vastauksesi.

Vastaus

---

Tehtävä 76

Osoita, että sarja

suppenee tasaisesti koko reaalilukujoukossa. Onko sarjan summafunktio jatkuva? Piirrä tämän kuvaaja.

Vastaus

---

4.4 Termeittäin derivointi ja integrointi

Tehtävä 77

Funktiojono määritellään seuraavasti:

f_n(x) =

Määritä jonon rajafunktio. Päteekö

lim_nf_n(x) dx = lim_nf_n(x) dx ?

Vastaus

---

Tehtävä 78

Olkoon g : [0, 1] jatkuva funktio ja olkoon edellisen tehtävän funktiojono. Määritä

lim_nf_n(x)g(x) dx.

Vastaus

---

Tehtävä 79

Laske sarjojen

e^-kx  ja  ke^-kx

summafunktiot. Millä muuttujan arvoilla sarjat suppenevat?

Vastaus

---

Tehtävä 80

Laske sarjan

summa laskemalla ensin integraali x^k-1 dx. Perustele laskusi.

Vastaus

---

Tehtävä 81

Osoita, että sarja

s(x) = ke^-kx

suppenee tasaisesti välillä [1, 2] ja laske integraali s(x) dx.

Vastaus

---

Tehtävä 82

Osoita, että sarja

suppenee tasaisesti kaikilla x . Voidaanko sarja derivoida termeittäin? Piirrä alkuperäisen sarjan ja termeittäin derivoimalla saadun sarjan osasummien kuvaajia.

Vastaus

---

Tehtävä 83

Tutki, millä arvoilla x funktio

s(x) = e^kx/k²

on määritelty. Millä alueella summafunktion derivaatta ja integraalifunktio voidaan muodostaa termeittäin derivoimalla ja integroimalla?

Vastaus

---