13 Erityyppisten integraalien väliset yhteydet

13.1 Gaussin lause

Tehtävä 364

Laske

da,

kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f(x, y) = 2x - 3y².

---

Tehtävä 365

Tarkista laskemalla Greenin lauseen voimassaolo, kun u(x, y) = (2xy - x²)i + (x + y²)j ja integroidaan käyrien y = x² ja x = y² rajaaman rajoitetun alueen yli.

---

Tehtävä 366

Laske integraali

(e^x - 4y sin ²x)dx + (2x + sin 2x)dy

a) suoraan viivaintegraalina, b) palauttamalla tasointegraaliksi. Tie c on neliön

{ (x, y) | |x| < 2,  |y| < 2 }

piiri positiiviseen suuntaan kierrettynä.

---

Tehtävä 367

Laske a) suoraan viivaintegraalina, b) tasointegraaliksi muuntamalla

y² dx + (x + y)² dy,

kun c on sen kolmion piiri positiiviseen suuntaan kierrettynä, jonka kärjet ovat (a, 0), (a, a) ja (0, a); oletetaan a > 0.

Vastaus

---

Tehtävä 368

Olkoon funktio f(x) jatkuvasti derivoituva ja olkoon u(x, y) = (2xy - y) i + f(x) j tason vektorikenttä. Olkoon c säännöllinen umpinainen tasokäyrä. Osoita, että f voidaan valita äärettömän monella tavalla siten, että integraali u ^. dr antaa käyrän c reunustaman alueen pinta-alan.

---

Tehtävä 369

Laske

u ^. dn,

kun u(x, y) = (x + e^y)i + (sin x + 2y)j, tie c on ellipsi x²/a² + y²/b² = 1 positiiviseen suuntaan kierrettynä ja n on tämän yksikköulkonormaalivektori. Tehtävä voidaan laskea joko suoraan viivaintegraalina tai palauttamalla tasointegraaliksi.

---

Tehtävä 370

Olkoon A tasoalue ja A tämän reuna, joka oletetaan säännölliseksi käyräksi. Funktio u(x, y) olkoon harmoninen, ts. ²u = 0 alueessa A. Osoita, että

ds = 0,

missä tarkoittaa funktion u derivaattaa reunan A ulkonormaalin suuntaan.

Vastaus

---

Tehtävä 371

Laske vektorikentän u(x, y, z) = xi + y²j - k vuo kuution

{ (x, y, z) | |x| < 1,  |y| < 1,  |z| < 1 }

pinnan läpi a) pintaintegraalina, b) avaruusintegraalina.

---

Tehtävä 372

Laske vektorikentän u(x, y, z) = z²(x i + y j) + k vuo kuution |x| < ,  |y| < ,  |z| < pinnan läpi.

---

Tehtävä 373

Laske Gaussin lauseen avulla kentän u(x, y, z) = x² i + y² j + z² k vuo kuution { (x, y, z) | |x| < 1,  |y| < 1,  |z| < 1 } pinnan läpi.

---

Tehtävä 374

Laske Gaussin lauseen avulla kentän u(x, y, z) = e^x cos y i + e^{cos z} j + e^{x sin y} k vuo kuution { (x, y, z) | |x| < 1,  |y| < 1,  |z| < 1 } pinnan läpi.

---

Tehtävä 375

Olkoon V koordinaattitasojen ja tason x + y + z = 1 rajoittama alue, V tämän reunapinta. Olkoon u(x, y, z) = 2xyi + 3yj + 2zk. Laske Gaussin lausetta käyttäen integraali

u ^. dS.

---

Tehtävä 376

Laske vektorikentän u(x, y, z) = (x² - 1) i - x²y j + z² k vuo pintojen z = 0, z = 1 ja x² + y² = 4 rajoittaman kappaleen pinnan läpi.

---

Tehtävä 377

Laske vektorikentän u(x, y, z) = x⁴ i + y²z² j + z k vuo kappaleen { (x, y, z) | x² + y² < 1,  0 < z < 1 } pinnan läpi.

---

Tehtävä 378

Laske vuo

(x i - y j + z k) ^. dS,

kun V = { (x, y, z) | x² + y² + z² - 4y + 2z + 2 < 0 }.

---

Tehtävä 379

Määritä pintaintegraalin

[(x + y) i - 2xz j + (y - z) k] × dS

arvo, kun integroimisjoukkona on palloneljänneksen { (x, y, z) | x² + y² + z² < 1,  x > 0,  y > 0 } pinta.

---

Tehtävä 380

Olkoon A rajoitettu tason ² alue ja V vastaavasti rajoitettu avaruuden ³ alue; näiden reunat A ja V olkoot säännöllisiä. Mikä geometrinen merkitys on seuraavilla integraaleilla:

a)  r ^. dn,     b)  r ^. dS  ?

Vastaus

---

Tehtävä 381

Vektorikenttä u olkoon rajoitetun alueen V säännöllisellä pinnalla kaikkialla kohtisuorassa pintaa vastaan. Osoita, että

× u dv = o.

---

Tehtävä 382

Osoita:

r dv = r² dS.

---

Tehtävä 383

Olkoon V alue, jolla on säännöllinen pinta V ; olkoon origo alueen V ulkopiste. Muunna seuraavat pintaintegraalit alueen V yli otetuiksi avaruusintegraaleiksi:

a)  dS,     b)  dS.

---

Tehtävä 384

Olkoon c vakiovektori. Laske

(c × r) × dS.

---

Tehtävä 385

Skalaarikenttä u(x, y, z) olkoon kahdesti jatkuvasti derivoituva avaruuden ³ säännöllisessä rajoitetussa joukossa V . Osoita:

dS = ²u dv,

missä tarkoittaa funktion u suunnattua derivaattaa pinnan V ulkonormaalin suuntaan.

---

Tehtävä 386

Olkoot u ja v kahdesti jatkuvasti derivoituvia funktioita ³ sekä V alue, jonka reuna V on säännöllinen. Oletetaan lisäksi, että v on jokaisessa reunan V pisteessä tangenttitason suuntainen. Laske Gaussin lauseen avulla

(u²v + u ^. v)dv.

---

Tehtävä 387

Olkoon u : ³ jatkuvasti derivoituva funktio, jonka tasa-arvopinnat ovat umpinaisia säännöllisisä pintoja siten, että pienempää arvoa vastaava pinta aina jää suurempaa arvoa vastaavan sisään. Mikä geometrinen tulkinta on tietyn tasa-arvopinnan rajoittaman alueen V yli otetun integraalin

 ^.  dv

arvolla?

---

Tehtävä 388

Olkoon V ³ rajoitettu joukko, jolla on origo sisäpisteenä ja jonka reuna V on säännöllinen. Laske

	a) epäoleellinen avaruusintegraali		.  dv,
	b) pintaintegraali		. dS.

Seuraako Gaussin lauseesta, että integraalien arvot ovat samat?

Vastaus

---

Tehtävä 389

Laske avaruuden ³ vektorikentän u(r) = r/r³ vuo origokeskisen R-säteisen pallopinnan läpi. Laske kentän divergenssi. Voidaanko vuo laskea Gaussin lauseen avulla? Jos ei, niin miksi ei?

---

Tehtävä 390

Laske vektorikentän u(r) = rr (r paikkavektori, r sen pituus) vuo R-säteisen origokeskisen pallon läpi a) pintaintegraalina, b) muuntamalla pintaintegraali Gaussin lauseen avulla avaruusintegraaliksi. Millainen on kentän u lähdekenttä xyz-koordinaateissa?

Vastaus

---

Tehtävä 391

Osoita Gaussin lauseen avulla, että pintaintegraali

r ^. dS

on riippumaton siitä, millainen origoa ympäröivä (säännöllinen) pinta S on. (Tässä r on paikkavektori ja r sen itseisarvo.) Laske integraali valitsemalla pinnaksi S origokeskinen pallopinta.

Vastaus

---

Tehtävä 392

Homogeenisessa nesteessä vallitsee syvyydessä z paine p = p₀ + gz, missä g on maan vetovoiman kiihtyvyys, nesteen tiheys ja p₀ paine nesteen pinnalla. Nesteeseen upotetun kappaleen pinta-alkioon dS vaikuttaa tällöin voima -pn dS; kokonaisvoima saadaan integroimalla tämä lauseke kappaleen pinnan yli. Sovella tähän integraaliin yleistettyä Gaussin lausetta ja johda tällä tavoin Arkhimedeen periaate.

Vastaus

---

13.2 Stokesin lause

Tehtävä 393

Olkoon c on puoliympyrän { (x, y) | x² + y² < 1,  x > 0 } piiri. Laske viivaintegraali

(x + y²) dr

a) suoraan viivaintegraalina, b) muuntamalla se ensin sopivaa Stokesin lauseen muotoa käyttäen.

---

Tehtävä 394

Laske suoraan viivaintegraalina ja Stokesin lauseen avulla

(z i + x j + y k) ^. dr,

kun c on lieriön x² + y² = 9 ja tason 3x + 2y + z = 6 leikkauskäyrä kierrettynä origosta katsottaessa vastapäivään.

---

Tehtävä 395

Laske sekä suoraan viivaintegraalina että Stokesin lauseen avulla

 ^. dr,

missä c on käyrä r(t) = cos t i + sin t j + cos t k, t [0, 2].

Vastaus

---

Tehtävä 396

Olkoon u(x, y, z) = yze^xy i + xz(1 + e^xy) j + e^xy k. Laske viivaintegraali

u ^. dr,

missä c on lieriön x² + y² = 4 ja tason 2x + 3y + z = 5 leikkauskäyrä kierrettynä origosta katsottaessa myötäpäivään.

---

Tehtävä 397

Laske vektorikentän u(x, y, z) = x k viivaintegraali u ^. dr, kun c on pinnanpalan

     0 < u < 1,   0 < v < 3

reuna a) suoraan viivaintegraalina, b) muuntamalla integraali ensin Stokesin lauseen avulla pintaintegraaliksi.

---

Tehtävä 398

Laske integraali

× (k × r) ^. dS,

kun B on a) xy-tason yksikkökiekko { (x, y, 0) | x² + y² < 1 }, b) avaruuden ³ yksikköpallon { (x, y, z) | x² + y² + z² = 1 } ylempi puolipallo, c) em. yksikköpallon alempi puolipallo. Pinta-alkioon dS sisältyvä normaalisuunta otetaan a-kohdassa ylöspäin, b- ja c-kohdissa pallosta ulospäin.

Vastaus

---

Tehtävä 399

Olkoon u(x, y, z) = z i + x j + y k vektorikenttä ja z = xy, |x| < 1, |y| < 1 pinnanapala. Laske viivaintegraali u ^. dr pitkin pinnanpalan reunaa a) suoraan viivaintegraalina, b) muuntamalla se ensin pintaintegraaliksi Stokesin lauseen avulla.

Vastaus

---

Tehtävä 400

Laske Stokesin lauseen avulla pintaintegraali

× [(x - z²) i + (x³ + z) j + xy k] ^. dS,

missä B on huipun ja xy-tason väliin jäävä kartiopinnan x² + y² = (z - 1)² osa. Häiritseekö kartion huippu Stokesin lauseen käyttöä?

---

Tehtävä 401

Osoita:

dS × r = r² dr,

missä B on jokin säännöllinen pinnanpala ja B sen reuna pinnan normaaliin nähden positiiviseen suuntaan kierrettynä.

---

Tehtävä 402

Olkoon c vakiovektori, B jokin säännöllinen pinnanpala ja B sen reuna pinnan normaaliin nähden positiiviseen suuntaan kierrettynä. Osoita, että

	a) c . dS = c . dS = c × r . dr;
	b) c × dS = c × dS = -r × (dr × c).

---

13.3 Gaussin ja Stokesin lauseen yleistyksiä

Tehtävä 403

Olkoon u : ³ harmoninen funktio ja V ³ rajoitettu joukko, jonka reuna V on säännöllinen. Osoita:

u dS = |u|² dv.

Tässä on funktion u derivaatta pinnan V ulkonormaalin suuntaan.

---

13.4 Kulma ja avaruuskulma

Tehtävä 404

Neliön kärjet sijaitsevat pisteissä (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0, 0) ja (1, 1, 0). Kirjoita integraali, joka esittää sen avaruuskulman suuruutta, jossa neliö näkyy origosta.

---

Tehtävä 405

Laske edellisen tehtävän integraali tai sen likiarvo seuraavilla tavoilla: a) geometrinen päättely, b) integrointi kynällä ja paperilla, c) symbolinen tietokoneohjelma.

---

Tehtävä 406

Neliön kärjet sijaitsevat pisteissä (a, -1, -1), (a, 1, -1), (a, 1, 1) ja (a, -1, 1), a > 0. Muodosta integraali, joka esittää sen avaruuskulman suuruutta, jossa neliö näkyy origosta. Laske integraali. Mikä on avaruuskulman raja-arvo, kun a 0?

Vastaus

---