Pikku-M: Polynomiyhtälöt

Here be a line, if not the image is missing

Polynomiyhtälöt

Polynomiyhtälön p(x) = 0 ratkaisut — juuret — ovat polynomin p(x) nollakohdat. Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälön ratkaisukaavat sisältyvät koulukurssiin. Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille on myös olemassa ratkaisukaavat, mutta nämä ovat varsin monimutkaisia. Viidennestä asteesta eteenpäin yleisiä juurilausekkeisiin perustuvia ratkaisukaavoja ei ole. Erikoistapauksiin soveltuvia menettelyjä on, mutta useimmiten tyydytään numeerisiin menetelmiin, joilla saadaan juurten likiarvot halutulla desimaalimäärällä.

Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt
Korkeampien asteiden yhtälöt
Algebran peruslause

Esimerkkejä

Ratkaistaan yhtälö $6x + 712 = 3x − 1.$

Vähennetään kummaltakin puolelta $1 3x + 72$ , jolloin vakiot ja muuttujat saadaan eri puolille.

1- 1- 1- 6x + 72 − (3x + 72) = 3x − 1 − (3x + 7 2) 1 3x = − 8-- 2 x = − 17-. 6

Ratkaistaan 2. asteen yhtälö $11x2 + 7x − 6 = 0$ käyttämällä ratkaisukaavaa. kuvaaja2

∘ -2--------------- x = − 7-±---7-−--4 ⋅ 11-⋅ (−-6) √ --2-⋅ 11 − 7 ± 313 x = ----------- 22

Yhtälöllä on kaksi eri ratkaisua:

$− 7+ √313 x = ---22---$ ja $−7−√313 x = --22----$ .

Ratkaistaan 2. asteen yhtälö $2 x − 2x + 2 = 0$ neliöksi täydentämällä. kuvaaja3

2 x − 2x + 2 = 0 x2 − 2x + 1 + 2 − 1 = 0 2 (x − 1) =√−-1- x − 1 = ± − 1 √ --- x = 1 ± − 1

Neliöjuuressa on negatiivista, jolloin reaalisia ratkaisuja ei ole. Kompleksiset juuret saamme käyttämällä tietoa $i2 = − 1$ , josta johdamme että $∘ ----- ∘ --- − |x | = i |x|$ .

√ --- x = 1 ± − 1 x = 1 ± i

Ratkaistaan 3. asteen yhtälö $2x3 + 3x2 − 4x − 1 = 0.$ kuvaaja4

Arvataan eräs ratkaisu $x = 1$ , jolla $2 + 3 − 4 − 1 = 0$ . Nyt voidaan jakaa yhtälö termillä $x − 1$ .

2x2 + 5x + 1 ---3-----2---------- x − 1|2x + 3x − 4x + 1 -2x3 −-2x2- 5x2 − 4x 5x2 − 5x ---------- x − 1 -x-−-1 0

Yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $2 (x − 1)(2x + 5x + 1) = 0$ , ja ratkaisemalla polynomin $2x2 + 5x + 1$ nollakohdat saamme yhtälön loput ratkaisut:

2x2 + 5x + 1 = 0 √--- −-5 ±--17- x = 4 ,

Yhtälö ratkeaa kun $x = 1$ tai $√ --- −-5-±---17 x = 4$ .

Kolmannen asteen yhtälölle on myös olemassa yleinen ratkaisukaava, mutta tavallisesti yhtälön ratkaiseminen muilla keinoilla on paljon helpompaa.
3. asteen yhtälön ratkaisukaava
Ratkaistaan bikvadraattinen yhtälö $8 4 x + 5x − 36 = 0.$
Tehdään sijoitus $x4 = u$ ja ratkaistaan saatu 2. asteen yhtälö.
$8 4 x + 5x − 36 = 0 u2 + 5u − 36 = 0 ∘ -------------- −-5-±---52-−-4-⋅ (−-36) u = 2 √ ---- u = −-5-±---169 2 −-5-±-13 u = 2 { u = 4 − 9$

Suoritetaan takaisinsijoitus. Kaikkien kompleksisten juurten laskemisessa auttaa tieto $∘ -- 1 x2 = i ⇐ ⇒ x = ± --(1 + i) 2$ .

$x4 = 4 x4 = − 9 x2 = ±2 x2 = ±3i ( ∘ -- { √ -- || 3- ± 2 { ± 2 (1 + i) x = √-- x = | ∘ 3- ±i 2 |( ± --(1 − i) 2$

Yhtälöllä on siis vain 2 reaalista juurta. Kompleksilukujen joukossa saadaan polynomiyhtälön kaikki juuret ratkaistua. Kompleksilukujen hallitseminen ei kuitenkaan kuulu tämän materiaalin aihepiiriin.

Harjoitustehtäviä

Ratkaise yhtälöt:
1. $7x 4 ---− --= 2 3 5$
2. $x − 2(x − 3) = x − 4(x + 3)$
3. $(x + 1)2 − x2 = 2(x + 1)$
4. $2 x(x + 1) − (x − 1) = x + 1$
5. $2 2 x − 3(x − 4) = (x + 3)$
Ratkaise yhtälöt:
1. $3x + 1 x − 5 -------− ------= 2x + 1 2 4$
2. $8x-+--9 7x-−-6- 3x-+-6- x-+-3- 10 − 25 = 5 − 20$
3. $a − b 3 ----- = -- bt 5$ (Ratkaise $a$ muuttujien $b$ ja $t$ suhteen sekä $b$ muuttujien $a$ ja $t$ suhteen, $a,b,t > 0$ )
4. $ax − a = 2x$ .
Ratkaise yhtälöt:
1. $2 2x − 18 = 0$
2. $2 (2x + 1) = 5$
3. $2x2 − x = 3x$
4. $(x − 1)(2x + 1) = 0$
5. $4x3 − 5x2 = 2x − 3x3$
Ratkaise yhtälöt:
1. $(x − 5)(1 − 3x) = 7$
2. $x2 + 3x + 4 = 0$
3. $2x2 + 1x − 4-= 0 3 5 15$
4. $x2 − 2x − √2x- + 2√2--= 0$
5. $2 ax + 2x − 1 = 0$ .
Ratkaise yhtälöt:
1. $(x + 3)(x2 + x − 6) = 0$
2. $x3 − 3x2 − x + 3 = 0$
3. $4 2 x − 3x + 2 = 0$
Ratkaise yhtälöt:
1. $(2x + 1)(1 − 2x)(x + 1) = 0$
2. $(2x + 1)(1 − 2x)(x + 1) = 1$

Tehtävien vastaukset: