Here be a line, if not the image is missing
 

Reaalifunktiot

Aloitussivu

Koulukurssi käsittelee lähes yksinomaan reaalifunktioita, so. reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Tällaisia ovat esimerkiksi x2, |x + 1| ja 1∕x. Kaksi ensimmäistä on määritelty kaikilla reaaliarvoilla, viimeinen muualla paitsi origossa, so. arvolla x = 0. Alkeisfunktioita ovat tavalliset lausekkeiden rakennuspalikat, ts. lähes kaikki koulukurssin funktiot. Esimerkkinä reaalifunktiosta, jota yleensä ei lueta alkeisfunktioihin, on normaalijakauman kertymäfunktio

∫ --1-- x −t2∕2 Φ (x) = √2-π- e dt. −∞

Tätä ei voida lausua yksinkertaisemmin alkeisfunktioiden avulla.

M Reaalifunktion käsite, alkeisfunktiot

 

Reaalifunktioiden perusominaisuuksia ovat kasvavuus ja vähenevyys. Näiden määritelmät voivat pohjautua derivaatan käsitteeseen, mutta määritelmät voidaan asettaa myös yleisemmin, jolloin derivaattaa ei tarvita. Kasvavuudella saatetaan joskus tarkoittaa myös aitoa kasvavuutta, vastaavasti vähenevyydellä.

Perusominaisuuksia ovat myös jaksollisuus, parillisuus ja parittomuus.

M Funktion kasvavuus ja vähenevyys
M Funktion jaksollisuus, parittomuus ja parillisuus

 

Jos jokaista funktion f maalijoukon alkiota y vastaa yksikäsitteinen lähtöjoukon alkio x, funktiolla on käänteisfunktio. Ehdon voimassaoloa voidaan tutkia esimerkiksi ratkaisemalla yhtälö y = f(x) muuttujan x suhteen. Jos yhtälö ratkeaa yksikäsitteisesti y:stä riippumatta, käänteisfunktio on olemassa. Aidosti kasvavalla funktiolla on käänteisfunktio, mutta aito kasvavuus ei ole välttämätöntä käänteisfunktion olemassaololle (joskin ehkä tavallisin tapaus).

M Reaalifunktion käänteisfunktio
M Käänteisfunktion kuvaaja

Esimerkkejä

  1. Parillisia funktioita ovat esimerkiksi x2, |x|, cosx, sinxx- ja y = 4 . Ne ovat symmetrisiä y-akselin suhteen. parillinen

    Parittomat funktiot ovat symmetrisiä origon suhteen, esimerkkinä 3 1 x,x , x ja sinx .
    pariton

    Funktioita, jotka eivät ole parittomia tai parillisia ovat esimerkiksi x e ,2x + 1 ja √ -- x .

  2. Funktio f : ℝ → ℝ, f(x) = 3x − 7 on kasvava. kuvaaja
    Kasvavuus nähdään kuvaajasta, mutta kuvaajasta katsominen ei useimmiten ole riittävä perustelu matematiikassa. Valitaan x1 > x2, x1, x2 ∈ ℝ .

    x1 > x2 ⇐ ⇒ 3x1 > 3x2 ⇐ ⇒ 3x1 − 7 > 3x2 − 7.


  3. Funktion f : ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 7 käänteiskuvaaja on g(x) = x+27 . Käänteiskuvaus on olemassa, koska funktio kuvaa jokaisen luvun yksikäsitteisesti ja jokainen maalijoukon alkio tulee kuvatuksi. kuvaaja (KUVA PUUTTUU!!!)
    Funktion ja sen käänteiskuvauksen yhdistetty kuvaus on identiteettikuvaus.
    f (g(x)) = 2(x-+-7) − 7 = x ⇐⇒ g(f(x)) = (2x-−--7) +-7 = x 2 2
 

Harjoitustehtäviä

  
 

  1. Onko funktio f(x) parillinen, pariton tai jaksollinen, kun

    1.  f(x) = x + sinx

    2.  f(x) = |sinx |

    3.   2 f(x) = x + 2x + 3

    4.   3 f(x) = x − 9x

  2. Määritä funktion f(x) käänteisfunktio f −1(x) , jos sellainen on olemassa, kun

    1.  f : ℝ → ℝ, f (x) = x3 + 2

    2.  f : ℝ → [− 1,1], f(x) = sin(x)

    3.  f : [1,∞ ) → [1,∞ ), f(x) = |2x − 1|

    4.  f : ℝ ∕{2} → ℝ ∕{2}, f (x) = 2x-−-1- x − 2

Tehtävien vastaukset:

  1. tehtävä
  2. tehtävä