Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Vektoriavaruuden kannasta

Lause. Jokaisella äärellisesti generoidulla vektoriavaruudella (V, +, . ) on kanta. Tarkemmin, jos V = L(X1,...,Xn) niin joukon A = {X1,...,Xn} jokin osajoukko on vektoriavaruuden kanta.

Todistus. Jos A on lineaarisesti riippumaton, niin se itse on kanta. Jos A on lineaarisesti riippuva, niin sivun Lineaarinen riippuvuus lauseen mukaan jokin joukon A vektoreista Xi voidaan esittää muiden joukon vektorien lineaarikombinaationa. Voidaan olettaa, että

X1  = a2X2 +  ...+ anXn.

Koska V = L(X1,...,Xn), niin sijoittamalla tähän vektorin X1 paikalle edellä saatu lauseke huomataan, että V = L(X2,...,Xn).

Jos nyt A\{X1} on lineaarisesti riippumaton, on se etsitty kanta. Muussa tapauksessa voidaan toistaa edellä esitetty päättely joukkoon A\{X1} ja löytää näin pienempi osajoukko, joka generoi vektoriavaruuden (V, +, . ). Poistamalla joukosta A nollavektorit ja toteuttamalla edellä esitettyä päättelyä kunnes lopulta löydetään lineaarisesti riippumaton joukon A osajoukko saadaan vektoriavaruuden (V, +, . ) kanta. Jos kaikki vektorit ovat nollavektoreita, niin V = {h} ja sen kanta on tyhjä joukko, joka on joukon A osajoukko. Muussa tapauksessa prosessi päättyy viimeistään silloin, kun jäljellä on enää yksi vektori Xi (silloin V = L(Xi) ja {Xi} on haettu kanta). []


Linkit:
Vektoriavaruuden kanta
Lineaarinen riippuvuus