Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA Versio 1, 1.11.2003 | LINEAARIALGEBRA |
Vektoriavaruuden kannasta
Lause. Jokaisella äärellisesti generoidulla vektoriavaruudella (V, +, . ) on kanta. Tarkemmin,
jos V = L(X1,...,Xn) niin joukon A = {X1,...,Xn} jokin osajoukko on vektoriavaruuden kanta.
Todistus. Jos A on lineaarisesti riippumaton, niin se itse on kanta. Jos A on lineaarisesti
riippuva, niin sivun Lineaarinen riippuvuus lauseen mukaan jokin joukon A vektoreista Xi
voidaan esittää muiden joukon vektorien lineaarikombinaationa. Voidaan olettaa,
että
Koska V = L(X1,...,Xn), niin sijoittamalla tähän vektorin X1 paikalle edellä saatu lauseke
huomataan, että V = L(X2,...,Xn).
Jos nyt A\{X1} on lineaarisesti riippumaton, on se etsitty kanta. Muussa tapauksessa voidaan
toistaa edellä esitetty päättely joukkoon A\{X1} ja löytää näin pienempi osajoukko, joka
generoi vektoriavaruuden (V, +, . ). Poistamalla joukosta A nollavektorit ja toteuttamalla
edellä esitettyä päättelyä kunnes lopulta löydetään lineaarisesti riippumaton joukon A
osajoukko saadaan vektoriavaruuden (V, +, . ) kanta. Jos kaikki vektorit ovat nollavektoreita,
niin V = {} ja sen kanta on tyhjä joukko, joka on joukon A osajoukko. Muussa tapauksessa
prosessi päättyy viimeistään silloin, kun jäljellä on enää yksi vektori Xi (silloin V = L(Xi) ja
{Xi} on haettu kanta).
Linkit:
Vektoriavaruuden kanta
Lineaarinen riippuvuus
|