Determinantin rivikehitelmät

Lause. Matriisin A = (a_ij)_n×n determinantilla on seuraavat lausekkeet, kun 1 < i < n ja 1 < j < n :

Ensimmäistä näistä kehitelmistä sanotaan determinantin rivikehitelmäksi i :nnen vaakarivin mukaan ja jälkimmäistä determinantin rivikehitelmäksi j :nnen pystyrivin mukaan.

Todistus. Sivun Transponoidun matriisin determinantti lauseen mukaan riittää todistaa vain vaakarivikehitelmän olemassaolo.

Determinantti määriteltiin summalausekkeella

missä summaan otetaan kaikki lukujen 1, 2,...,n permutaatiot (j₁,j₂,...,j_n).

Ajatellaan nyt tässä summalausekkeessa kootuksi yhteen ne summan termit, jotka sisältävät kertoimen a_i1, samoin ne, jotka sisältävät kertoimen a_i2 ja niin edelleen. Näiden yhteenlaskettavien erottaminen on mahdollista sillä missään termissä a_1j1a_2j2a_njn ei esiinny kahta luvuista a_i1,a_i2,...,a_in. Ottamalla kukin luvuista a_i1,a_i2,...,a_in osasummissa yhteiseksi tekijäksi, saadaan: det A = a_i1c_i1 + a_i2c_i2 + ... + a_inc_in. Vielä pitää osoittaa, että c_ik = C_ik kaikilla 1 < k < n.

Osoitetaan ensin, että c₁₁ = C₁₁. Kokoamalla matriisin A determinantin lausekkeessa yhteen ne termit, jotka sisältävät kertoimen a₁₁, saadaan

missä summa lasketaan yli lukujen 2,...,n kaikkien permutaatioiden (j₂,...,j_n). Koska mikään pareista 1,j_h ei ole käännetty, on sign(1,j₂,...,j_n) = sign(j₂,...,j_n). Täten c₁₁ = det A₁₁ = (-1)¹⁺¹ det A ₁₁ = C₁₁.

Tutkitaan seuraavaksi mielivaltaisen alkion a_ik kerrointa c_ik. Siirretään i :s vaakarivi ensimmäiseksi vaakariviksi tekemällä i - 1 peräkkäisten vaakarivien vaihtoa. Näin saadussa matriisissa siirretään k :s pystyrivi ensimmäiseksi tekemällä k - 1 vierekkäisten pystyrivien vaihtoa. Näin on saatu alkio a_ik matriisin yläkulmaan alkion a₁₁ paikalle. Käytetään merkintää A' muokatusta matriisista. Lukuunottamatta ensimmäistä vaakariviä ja pystyriviä on kaikkien rivien ja sarakkeiden keskinäinen järjestys säilynyt matriisissa A' samana kuin alkuperäisessä matriisissa A. Täten matriisissa A' alkion a_ik (joka on siis matriisin yläkulmassa) alideterminantti on edellä todistetun nojalla sama kuin matriisissa A. Siis determinantin A' lausekkeessa (kun tälle determinantin lausekkeelle tehdään samanlainen rivikehitelmä kuin matriisille A) on alkion a_ik kertoimena det A_ik. Toisaalta Determinantin perusominaisuuden (D4) mukaan on matriisien A ja A' determinanttien lausekkeissa samat termit lukuunottamatta etumerkkejä ja tulon tekijöiden järjestystä. Siis matriisin A determinantin rivikehitelmässä on termi ±a_ik det A_ik, joten c_ik = ± det A_ik. Edelleen determinantin ominaisuuden (D4) mukaan saadaan etumerkki lasketuksi laskemalla rivivaihtojen lukumäärä. Etumerkiksi saadaan (-1)^i-1+k-1 = (-1)^i+k. Siis c_ik = (-1)^i+k det A _ik = C_ik.

Determinantin vaakarivikehitelmässä on siis i :nnen vaakarivin alkiot kerrottu komplementeillaan ja laskettu yhteen.

Linkit:
Alideterminantti ja komplementti
Determinantin perusominaisuuksia
Transponoidun matriisin determinantti