Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA Versio 1, 1.11.2003 | LINEAARIALGEBRA |
Cramerin säännön todistus
Olkoon A = (A(1),...,A(n)) ja X = (x
1,x2,...,xn)T ja B = (b
1,b2,...,bn)T sekä
Muistetaan, että sivun Transponoidun matriisin determinantti huomautuksen perusteella ovat
determinantin perusominaisuudet (D1)-(D6) voimassa vaikka niissä sana vaakarivi korvataan
sanalla pystyrivi.
Kun korvataan i :s pystyrivi matriisin A determinantissa sarakkeella B, saadaan
Käyttämällä determinantin summahajotelmaa (D2) yhtälön oikeaan puoleen saadaan se
muotoon Edelleen determinantin sarakkeen yhteisen tekijän siirron (D1) perusteella saadaan edellinen
lauseke muotoon Kaikissa paitsi i :nnessä tämän summalausekkeen termin determinantissa esiintyy sama sarake
kahteen kertaan. Näiden determinanttien arvo on ominaisuuden (D5) perusteella nolla ja täten
edellisen summan arvo on
Siis
Koska det A 0, voidaan xi ratkaista edellisestä yhtälöstä ja saadaan väite.
Linkit:
Cramerin sääntö
Determinantin perusominaisuuksia
Transponoidun matriisin determinantti
|