Tekijäryhmä

Olkoon (N,*) (G,*). Ryhmän (N,*) sivuluokkien joukosta ryhmässä (G,*) käytetään merkintää G/N, siis

missä D on jokin sivuluokkien edustajisto.

Lause. Olkoon (N,*) (G,*). Joukko G/N muodostaa ryhmän seuraavasti määritellyn binäärioperaation  ^.  suhteen:

Todistus. Osoitetaan ensimmäiseksi, että binäärioperaatio on hyvin määritelty eli tulo (a*N) ^. (b*N) = (a*b) *N on riippumaton edustajien a,b valinnasta. Valitaan toiset sellaiset edustajat a' ja b', että a * N = a'* N ja b * N = b'* N. Silloin a a'* N, joten on olemassa sellainen n₁ N, että a = a'* n₁. Vastaavasti b b'* N ja jollekin n₂ N on b = b'* n₂. Nyt pitää osoittaa, että (a * b) * N = (a'* b') * N. Olkoon n N. Silloin operaation * assosiatiivisuuden nojalla on

Koska (N,*) on normaali aliryhmä, niin jollekin n₃ N on n₁ * b' = b'* n₃. Täten

kun n' = n₃ * n₂ * n N. Täten a * b * N a'* b'* N. Samoin voidaan osoittaa, että a' * b' * N a * b * N. Täten binäärioperaatio on hyvin määritelty ja tästä seuraa ryhmän postulaatin (G0) toteutuvuus.

Binäärioperaation  ^.  assosiatiivisuus seuraa ryhmän (G,*) operaation assosiatiivisuudesta, sillä kaikilla a, b, c G:

Olkoon e ryhmän (G,*) neutraalialkio. Ryhmän (G/N, ^. ) neutraalialkio on e * N = N, sillä kaikilla a G on

Vastaavasti alkion a * N käänteisalkio on a^-1 * N, sillä

Määritelmä. Olkoon (N,*) (G,*). Ryhmää (G/N, ^. ) sanotaan ryhmän (G,*) tekijäryhmäksi ryhmän (N,*) suhteen, kun operaatio  ^.  on määritelty kuten edellisessä lauseessa.

Huomaa, että (G/N) = [G : N].

Linkit:
Normaali aliryhmä
Vasemmat sivuluokat