Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA Versio 1, 1.11.2003 | RYHMÄ |
Tekijäryhmä
Olkoon (N,*) (G,*). Ryhmän (N,*) sivuluokkien joukosta ryhmässä (G,*) käytetään
merkintää G/N, siis
missä D on jokin sivuluokkien edustajisto.
Lause. Olkoon (N,*) (G,*). Joukko G/N muodostaa ryhmän seuraavasti määritellyn
binäärioperaation . suhteen:
Todistus. Osoitetaan ensimmäiseksi, että binäärioperaatio on hyvin määritelty eli tulo
(a*N) . (b*N) = (a*b) *N on riippumaton edustajien a,b valinnasta. Valitaan toiset sellaiset
edustajat a' ja b', että a * N = a'* N ja b * N = b'* N. Silloin a a'* N, joten on olemassa
sellainen n1 N, että a = a'* n1. Vastaavasti b b'* N ja jollekin n2 N on b = b'* n2. Nyt
pitää osoittaa, että (a * b) * N = (a'* b') * N. Olkoon n N. Silloin operaation *
assosiatiivisuuden nojalla on
Koska (N,*) on normaali aliryhmä, niin jollekin n3 N on n1 * b' = b'* n3. Täten
kun n' = n3 * n2 * n N. Täten a * b * N a'* b'* N. Samoin voidaan osoittaa, että
a' * b' * N a * b * N. Täten binäärioperaatio on hyvin määritelty ja tästä seuraa ryhmän
postulaatin (G0) toteutuvuus.
Binäärioperaation . assosiatiivisuus seuraa ryhmän (G,*) operaation assosiatiivisuudesta, sillä
kaikilla a, b, c G:
Olkoon e ryhmän (G,*) neutraalialkio. Ryhmän (G/N, . ) neutraalialkio on e * N = N, sillä
kaikilla a G on
Vastaavasti alkion a * N käänteisalkio on a-1 * N, sillä
![[]](images/msam10-c-3.gif)
Määritelmä. Olkoon (N,*) (G,*). Ryhmää (G/N, . ) sanotaan ryhmän (G,*)
tekijäryhmäksi ryhmän (N,*) suhteen, kun operaatio . on määritelty kuten edellisessä
lauseessa.
Huomaa, että (G/N) = [G : N].
Linkit:
Normaali aliryhmä
Vasemmat sivuluokat
|