Alirengas

Määritelmä. Olkoon (R, +, ^. ) rengas ja S R. Kolmikkoa (S, +, ^. ) sanotaan renkaan R alirenkaaksi, jos

     AR1.   S on rengas operaatioiden + ja  ^.  suhteen ja
     AR2.   renkaan (R, +, ^. ) ykkösalkio 1 _R on renkaan (S, +, ^. ) ykkösalkio 1 _S, siis 1_R = 1_S.

Jos (S, +, ^. ) on renkaan (R, +, ^. ) alirengas, niin ryhmä (S, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. Täten myös renkaan nolla-alkio 0_R on sen alirenkaan nolla-alkio (katso sivu Aliryhmä).

Lause. (Alirengaskriteeri) Olkoon (R, +, ^. ) rengas ja S R. Silloin (S, +, ^. ) on renkaan R alirengas jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat:

     (i)   1_R S,
     (ii)   a - b S kaikilla a,b S,
     (iii)   a ^. b S kaikilla a,b S.

Todistus. Jos (S, +, ^. ) on renkaan (R, +, ^. ) alirengas, niin ehdot (i)-(iii) toteutuvat triviaalisti.

Oletetaan kääntäen, että S R ja ehdot (i)-(iii) toteutuvat. Ehdosta (i) seuraa, että S on epätyhjä; yhdessä ehdon (ii) kanssa tästä seuraa aliryhmäkriteerin perusteella, että (S, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. Ehdosta (i) seuraa renkaan postulaatin (R4) toteutuvuus. Ehdosta (iii) puolestaan seuraa renkaan postulaatin (R2) toteutuvuus. Joukon R alkioina joukon S alkiot toteuttavat assosiatiivisuuden ja distributiivilait.

Linkit:
Rengas
Aliryhmä