Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		KUNTA
 

Esimerkkejä kunnista

Esimerkki. (Q, +, . ), (R, +, . ) ja (C, +, . ) ovat (luku)kuntia. Kuten sivulla Esimerkkejä renkaista todetaan, nämä kaikki ovat kommutatiivisia renkaita. Lisäksi on helppo huomata, että kaikilla joukkojen Q \{0}, R \{0} ja C \{0} alkioilla on käänteisalkiot.

Kokonaislukujen muodostama rengas (Z, +, . ) ei ole kunta, sillä vaikka se onkin kommutatiivinen rengas, niin sen nollasta eroavilla alkioilla ei ole käänteisalkioita joukossa Z \{0}. Kokonaislukurengas (Z, +, . ) on esimerkki äärettömästä kokonaisalueesta, joka ei ole kunta.

Esimerkki. Kaikkien rationaalifunktioiden joukko

R(x) = {p(x)--|p(x),q(x) (- R[x], q(x) ei ole nollapolynomi}, q(x)

muodostaa kunnan funktioiden pisteittäisen yhteen- ja kertolaskun suhteen. (Huomaa, että (R[x], +, . ) on kommutatiivinen rengas, mutta ei kunta.)

Koska kunnan (R(x), +, . ) ykkösalkio on vakiopolynomi 1 ja kaikki tämän monikerrat k = k . 1 (k (- Z) ovat erisuuria, on char(R(x)) = 0.

Esimerkki. Sivun Kunta lauseesta ja sivun Esimerkkejä nollanjakajista ja kokonaisalueista neljännestä esimerkistä seuraa, että jäännösluokkarengas (Zm, +, . ) on kunta jos ja vain jos m on alkuluku.

Olkoon p alkuluku. Jäännösluokkarenkaan (Zp, +, . ) karakteristika on p, sillä p . 1- = p- = 0- ja kaikille kokonaisluvuille n, joille 0 < n < p, on n . -- 1/=-- 0.

Koska 5 on alkuluku on (Z5, +, . ) kunta. Esitetään tämän kunnan yhteenlasku- ja kertotaulut.

+012--3---4-- --.-|0--1---2--3---4- 0012- 3- 4- 0-|0- 0- 0- 0- 0- 1123 4 0 1 |0 1 2 3 4 --- -- -- --|-- -- -- -- -- 2234- 0- 1- 2-|0- 2- 4- 1- 3- 3340- 1- 2- 3-|0- 3- 1- 4- 2- 4401 2 3 4 |0 4 3 2 1
Lasketaan kunnassa (Z5, +, . ) summa 1 2 + 2 3.

Käyttämällä yllä olevaa kertotaulua nähdään, että - 1 2 = 1- . ---- 2-1 = 1- . 3- = 3-. Vastaavasti 2 3= - 2 .   - 3-1 = -- 2 . -- 2 = -- 4. Yhteenlaskutaulua käyttämällä saadaan, että

-- -- 1- 2- -- -- -- 2-+ 3-= 3 + 4 = 2.

Linkit:
Esimerkkejä renkaista
Kunta