Esimerkkejä renkaista

Esimerkki. (LUKURENKAAT) Kokonaisluvut , rationaaliluvut , reaaliluvut ja kompleksiluvut ovat renkaita tavallisen yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen. Nämä renkaat ovat kommutatiivisia. Kaikkien näiden renkaiden ykkösalkio on kokonaisluku 1 ja nolla-alkio luku 0.

Myös kolmikko ([i], +, ^. ), missä

ja operaatiot + ja  ^.  ovat tavallinen yhteen- ja kertolasku, on rengas. Todistetaan ensin, että ([i], +) on ryhmä. [i] on selvästi suljettu operaation + suhteen. Tavallisena lukujen yhteenlaskuna operaatio + on assosiatiivinen ja kommutatiivinen joukossa [i]. Kun vielä huomataan, että 0 on neutraalialkio ja alkion a + bi [i] vasta-alkio on -a-bi, niin saadaan, että ([i], +) on Abelin ryhmä. Renkaan ([i], +, ^. ) ykkösalkio on 1. On selvää, että operaatio  ^.  joukossa [i] on assosiatiivinen ja toteuttaa distributiivilait. Lisäksi operaatio  ^.  on kommutatiivinen.

Joukkoa [i] sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi.

Esimerkki. (MATRIISIRENKAAT) Reaalialkioisten neliömatriisien joukko M_n() muodostaa renkaan matriisien yhteenlaskun ja matriisitulon suhteen. Sivulla Esimerkkejä ryhmistä 2 todettiin, että (M_n(), +) on Abelin ryhmä. Joukko M_n() on suljettu matriisitulon suhteen, sillä aina reaalilukujen summa ja tulo on reaaliluku. Sivun Matriisitulon ominaisuuksia lauseiden nojalla matriisitulo on assosiatiivinen ja toteuttaa distributiivilait. Renkaan ykkösalkio on identiteettimatriisi I_n.

Muita vastaavia ryhmiä muodostavat neliömatriisit yli kokonaislukujen M_n(), yli rationaalilukujen M_n() ja yli kompleksilukujen M_n() matriisien yhteenlaskun ja matriisitulon suhteen. Tarkista, että nämä joukot ovat suljettuja kyseisten operaatioiden suhteen.

Mainitut matriisirenkaat ovat epäkommutatiivisia, kun n > 1.

Esimerkki.(FUNKTIORENKAAT) Funktiojoukko

on rengas funktioiden pisteittäisen yhteen- ja kertolaskun suhteen:

Käymällä läpi ryhmäpostulaatit on helppo todeta, että (C[a,b], +) on Abelin ryhmä, neutraalialkiona on funktio f₀(x) = 0 kaikilla x [a,b]. Renkaan C[a,b] ykkösalkio on funktio f(x) = 1 kaikilla x [a,b]. Rengaspostulaattien toteutuminen nähdään helposti.

Linkit:
Rengas
Matriisi
Yksinkertaisia matriiseja
Esimerkkejä ryhmistä 2
Matriisitulon ominaisuuksia