Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA Versio 1, 1.11.2003 | RENGAS |
Esimerkkejä renkaista
Esimerkki. (LUKURENKAAT) Kokonaisluvut , rationaaliluvut , reaaliluvut ja
kompleksiluvut ovat renkaita tavallisen yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen. Nämä renkaat
ovat kommutatiivisia. Kaikkien näiden renkaiden ykkösalkio on kokonaisluku 1 ja nolla-alkio
luku 0.
Myös kolmikko ( [i], +, . ), missä
ja operaatiot + ja . ovat tavallinen yhteen- ja kertolasku, on rengas. Todistetaan ensin, että
( [i], +) on ryhmä. [i] on selvästi suljettu operaation + suhteen. Tavallisena lukujen
yhteenlaskuna operaatio + on assosiatiivinen ja kommutatiivinen joukossa [i]. Kun vielä
huomataan, että 0 on neutraalialkio ja alkion a + bi [i] vasta-alkio on -a-bi, niin saadaan,
että ( [i], +) on Abelin ryhmä. Renkaan ( [i], +, . ) ykkösalkio on 1. On selvää, että operaatio
. joukossa [i] on assosiatiivinen ja toteuttaa distributiivilait. Lisäksi operaatio . on
kommutatiivinen.
Joukkoa [i] sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi.
Esimerkki. (MATRIISIRENKAAT) Reaalialkioisten neliömatriisien joukko Mn( ) muodostaa
renkaan matriisien yhteenlaskun ja matriisitulon suhteen. Sivulla Esimerkkejä ryhmistä 2
todettiin, että (Mn( ), +) on Abelin ryhmä. Joukko Mn( ) on suljettu matriisitulon suhteen,
sillä aina reaalilukujen summa ja tulo on reaaliluku. Sivun Matriisitulon ominaisuuksia
lauseiden nojalla matriisitulo on assosiatiivinen ja toteuttaa distributiivilait. Renkaan
ykkösalkio on identiteettimatriisi In.
Muita vastaavia ryhmiä muodostavat neliömatriisit yli kokonaislukujen Mn( ), yli
rationaalilukujen Mn( ) ja yli kompleksilukujen Mn( ) matriisien yhteenlaskun ja
matriisitulon suhteen. Tarkista, että nämä joukot ovat suljettuja kyseisten operaatioiden
suhteen.
Mainitut matriisirenkaat ovat epäkommutatiivisia, kun n > 1.
Esimerkki.(FUNKTIORENKAAT) Funktiojoukko
on rengas funktioiden pisteittäisen yhteen- ja kertolaskun suhteen:
Käymällä läpi ryhmäpostulaatit on helppo todeta, että (C[a,b], +) on Abelin ryhmä,
neutraalialkiona on funktio f0(x) = 0 kaikilla x [a,b]. Renkaan C[a,b] ykkösalkio on funktio
f(x) = 1 kaikilla x [a,b]. Rengaspostulaattien toteutuminen nähdään helposti.
Linkit:
Rengas
Matriisi
Yksinkertaisia matriiseja
Esimerkkejä ryhmistä 2
Matriisitulon ominaisuuksia
|