Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA Versio 1, 1.11.2003 | KUNTA |
Esimerkkejä kunnista 2
Esimerkki. Ratkaistaan kunnassa (K, +, . ) toisen asteen yhtälö x2 + ax + b = 0, missä
a,b K, olettaen, että char(K) 2.
Koska char(K) 2 on luvulla 2 kunnassa K käänteisalkio . Täten myös luvulla 4 on
käänteisalkio nimittäin ( )2. Nyt x2 + ax + b = x2 + ax + - + b = (x + )2 - ( - b).
Täten yhtälöllä x2 + ax + b = 0 on ratkaisu kunnassa K, jos ja vain jos on olemassa sellainen
kunnan K alkio y, että y2 = - b. Oletetaan, että tällainen alkio y on olemassa.
Silloin
Koska kunta on kokonaisalue, tämä tarkoittaa, että joko
Ratkaisuksi saadaan
Esimerkki. Olkoon (K, +, . ) kunta, jonka karakteristika on alkuluku p. Osoitetaan, että
kuvaus
on kuntahomomorfismi.
Olkoot a, b K. Silloin käyttäen sivun Esimerkkejä nollanjakajista ja kokonaisalueista
viimeistä esimerkkiä saadaan, että fp(a + b) = (a + b)p = ap + bp = f
p(a) + fp(b).
Tulon kommutatiivisuudesta johtuen on fp(ab) = (ab)p = apbp = f
p(a)fp(b). Lisäksi
fp (1K ) = (1K )p = 1
K. Täten kuvaus on rengashomomorfismi, siis myös kuntahomomorfismi.
Sivun Huomioita kunnasta viimeisen lauseen mukaan kuvaus fp on injektio, toisin sanoen
Im(f) = {xp | x K} muodostaa kunnan K kanssa isomorfisen kunnan. Oletuksen
char(K) = p nojalla K on äärellinen kunta, tällöin joukko Im (f) sisältää yhtä monta alkiota
kuin joukko K ja on siis sama joukon K kanssa. Siis fp on kunnan K automorfismi.
Linkit:
Esimerkkejä kunnista
Esimerkkejä nollanjakajista ja kokonaisalueista
|