smr265.html

Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003

KUNTA

Esimerkkejä alikunnista

Esimerkki. Olkoon n (n0, 1) neliövapaa kokonaisluku (toisin sanoen luvulla n ei ole tekijänä mitään kokonaisluvun neliötä m², missä m > 1). Osoitetaan, että joukko

V~ -- V~ -- Q( n) = {a + b n | a,b (- Q}

muodostaa kunnan (, +,^.) alikunnan. Jos n > 0, on tämä alikunta myös kunnan (, +,^.) alikunta.

Koska ( V~ -
n ), toteutuu alikuntakriteerin ehto AK1.

Oletetaan, että a + b V~ n- , a' + b' V~ n- ( V~ n- ). Silloin

V~ - ' ' V~ -- ' ' V~ -- V~ -- (a + b n) - (a + b n) = a - a + (b- b ) n (- Q( n),

koska a - a' ja b - b' . Täten ehto AK2 toteutuu.

Oletetaan lisäksi, että a' + b' V~ --
n 0. Nyt

V~ V~ -- V~ -- a+bn (a-+-b--n)(a'---b'-n)- ------1------ ' ' ' ' V~ -- a'+b' V~ n= (a')2 - (b' V~ n)2 = (a')2 - (b')2n ((aa - bb n) + (a b - ab ) n).

Saatu tulos kuuluu kuntaan ( V~ n- ), mikäli (a')² - (b')²n0. Pitää siis osoittaa, että a'- b' V~
n 0. Jos a'- b' V~ --
n = 0, niin a' = b' V~ --
n . Jos b' = 0, niin myös a' = 0, mistä seuraisi, että a' + b' V~ --
n = 0, mikä on ristiriita. Täten b'0 (samoin myös a'0). Nyt n = '2
(a)'2
(b) . Koska n (n0, 1), niin myös ( a''
b )² ja siis a''
b . Tästä seuraa, että n on neliö, mikä on ristiriita. Siis a'- b' V~ --
n 0 ja näin ollen ehto AK3 toteutuu.

Esimerkki. Olkoon (K, +,^.) kunta ja char(K) = 2. Näytetään, että joukko {0_K, 1_K} muodostaa kunnan K alikunnan. Koska joukossa {0_K, 1_K} on kaksi alkiota ehto AK1 toteutuu.

Koska char (K) = 2, on 1_K + 1_K = 0_K ja tästä seuraa, että -1_K = 0_K - 1_K = 1_K. Vastaavasti voidaan laskea muut erotukset ja nähdään, että ehto AK2 toteutuu. Ehto AK3 toteutuu, koska a--
1K = a molemmilla a {0_K, 1_K}. Väite seuraa alikuntakriteeristä.

Esimerkki. Olkoon (K, +,^.) kunta ja kuvaus f : (K, +,^.) --> (K, +,^.) homomorfismi kunnalta itselleen. Merkitään

F = {a (- K |f (a) = a}.

Näytetään, että (F, +,^.) on kunnan (K, +,^.) alikunta. Kuntaa (F, +,^.) sanotaan homomorfismin f kiintokunnaksi.

Koska kuntahomomorfismi (katso sivu Renkaiden homomorfia) kuvaa aina f(1_K) = 1_K ja f(0_K ) = 0_K , niin {0_K, 1_K} F. Täten alikuntakriteerin ehto AK1 toteutuu. Oletetaan, että a, b F. Silloin joukon F ja homomorfian määritelmän perusteella (katso sivu Renkaiden homomorfia)

f(a - b) = f(a + (- b)) = f (a) + f (-b) = f (a)- f (b) = a - b.

Täten a - b F. Jos lisäksi b0_K, niin

f (a) = f (ab -1) = f(a) .f (b-1) = f(a) .f(b)-1 = ab-1 = a-, b b

ja siis a
b F. Ehdot AK2 ja AK3 toteutuvat. Väite seuraa alikuntakriteeristä.

Linkit:
Alikunta
Renkaiden homomorfia