Polynomirengas

Reaalikertoimiset polynomit a₀ + a₁x + + a_nxⁿ, missä a _i kaikilla i = 1,...,n, ovat tuttuja monesta yhteydestä. Olkoon (R, +, ^. ) rengas. Yleistetään polynomin käsitettä korvaamalla polynomin kertoimet a₀,...,a_n renkaan (R, +, ^. ) alkioilla. Tällaisten polynomien yhteen- ja kertolasku voidaan suorittaa aivan kuten reaalisessakin tapauksessa, nyt kertoimiin sovelletaan renkaan (R, +, ^. ) laskutoimituksia.

Kaikkien yhden muuttujan x polynomien, joiden kertoimet kuuluvat renkaaseen (R, +, ^. ), joukosta käytetään merkintää R[x]. Siis

Joukon alkioita sanotaan polynomeiksi yli renkaan R (tai renkaan R suhteen).

Kaksi joukon R[x] polynomia

Olkoon f(x) = a_ixⁱ R[x] ja g(x) = b_ixⁱ R[x]. Voidaan olettaa, että m > n. Määritellään polynomien yli renkaan R yhteen- ja kertolasku seuraavasti:

Lause. Olkoon (R, +, ^. ) rengas. Silloin R[x] on rengas yllä määriteltyjen operaatioiden + ja  ^.  suhteen. Lisäksi (R[x], +, ^. ) on kommutatiivinen jos ja vain jos (R, +, ^. ) on kommutatiivinen.

Todistus. Renkaan (R[x], +, ^. ) nolla-alkio on nollapolynomi 0 _R ja sen ykkösalkio on vakiopolynomi 1_D = 1_Dx⁰. Polynomin a(x) = a ₀ + a₁x + + a_nxⁿ R[x] vasta-alkio on polynomi -a(x) = -a₀ - a₁x -- a_nxⁿ, missä -a _i on renkaan alkion a_i vasta-alkio kaikilla i = 0, ... , n. Sen toteamiseksi, että (R[x], +, ^. ) on tosiaan rengas on käytävä kaikki rengaspostulaatit lävitse. Tehdään esimerkkinä assosiatiivisuuden todistaminen ja jätetään muut harjoitukseksi.

Olkoot polynomit a(x) = a₀ + a₁x + + a_nxⁿ, b(x) = b ₀ + b₁x + + b_mx^m ja c(x) = c₀ + c₁ x + + c_kx^k joukon R[x] alkioita. Silloin käyttäen renkaan R assosiatiivisuutta saadaan

Lauseen loppuosa on ilmeinen.

Rengasta (R[x], +, ^. ) sanotaan polynomirenkaaksi yli renkaan R.

Linkit:
Rengas
Esimerkkejä polynomirenkaista