Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		POLYNOMIRENKAAT
 

Esimerkkejä polynomirenkaista

Esimerkki. Polynomirenkaassa yli reaalilukujen R pätee, että (x + 1) /| (x2 + 1). Jäännösluokkien modulo 2 muodostamassa polynomirenkaassa Z2[x] on (x + -- 1) | (x2 + -- 1), sillä x2 + - 1 = (x + -- 1)2.

Koska polynomilla x2 + 1 ei ole nollakohtaa reaalilukujen joukossa R, niin se on jaoton yli renkaan (R, +, . ). Renkaassa (Z 2, +, . ) polynomilla x2 + -- 1 on kaksinkertainen nollakohta - 1, joten se ei ole jaoton yli renkaan Z2. Myös kompleksilukujen renkaassa (C, +, . ) polynomi x2 + 1 hajoaa tekijöihin, nimittäin x2 + 1 = (x + i)(x - i).

Esimerkki. (Z5, +, . ) on kunta, koska luku 5 on alkuluku. Sovelletaan jakoalgoritmia polynomirenkaan (Z5[x], +, . ) polynomeihin a(x) = -- 3x2 + -- 1 ja b(x) = -- 2x + -- 3. Huomataan ensin, että - 2-1 = -- 3, sillä -- 2 . -- 3 = -- 6 = -- 1. Saadaan

3-- -- ---- -- -- -- -- -- -- -- -- -- a(x)=x.2x + 1 = 3 .3x( 2x + 3- 3) + 1 = 4x(2x + 3) + 3x + 1 2 -- - 3--- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- =4xb(x) + 2-(2x + 3- 3) + 1 = (4x + 4)b(x) + 3 .3 .(- 3) + 1 = (4x + 4)b(x) + 4.

Siis q(x) = 4x + 4- ja r(x) = 4-.

Esimerkki. Olkoon x4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2 polynomi yli reaalilukujen kunnan. Polynomilla ei ole nollakohtaa joukossa R, sillä x2 + 1 on jaoton yli renkaan (R, +, . ). Polynomi x4 + 2x2 + 1 ei kuitenkaan ole jaoton, vaikkei sillä nollakohtaa joukossa R olekaan.

Esimerkki. Tutkitaan onko polynomi x3 + 3-x + 2- jaoton yli kuntien (Z 3, +, . ) ja (Z 5, +, . ). Koska polynomi on astetta kolme, se ei ole jaoton, jos polynomilla on jokin nollakohta tutkittavassa kunnassa.

Kunnassa Z3 [x] on x3 + -- 3x + -- 2 = x3 + -- 2. Taulukoidaan polynomin arvot kaikilla kunnan (Z3 , +,  .   ) alkioilla. Saadaan alla oleva vasemmanpuoleinen taulukko. Koska polynomilla on nollakohta x = -- 1, se on jaollinen polynomilla x --- 1 yli kunnan Z3.

Taulukoidaan vastaavasti polynomin x3 + -- 3x + -- 2 arvot yli kunnan (Z 5, +, . ). Saadaan oikeanpuoleinen taulukko. Koska polynomilla nyt ei ole nollakohtaa, se on jaoton yli kunnan Z5 .

| -- -- x |x3 + 3x + 2 xx3+2 -0--|-----2------- - -- | -- 02 1- | 1- 10 2- | 1- 21 3 | 3 4- | 3- ------------------

Linkit:
Esimerkkejä kunnista
Polynomirengas
Polynomin aste
Polynomien jaollisuus
Polynomien jakoalgoritmi
Polynomin nollakohdat